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Copyright ©2013, Luciano Pandolfi.

  Il contenuto di questi appunti corrisponde al programma di Analisi Matematica 1 del Politecnico di Torino.

Un argomento trattati in molti corsi di Analisi Matematica 1 e che qui non viene presentato è quello delle successioni e serie di funzioni, che verrà visto nei corsi successivi. Inoltre, per risparmiare tempo, le successioni numeriche, che meriterebbero un intero capitolo, vengono presentate esclusivamente come casi particolari di funzioni da $ℝ$ in sé.

Ogni capitolo è seguito da esercizi che servono a testare la comprensione della teoria. Alcuni sono molto semplici e altri, indicati col segno ($\star$) , più complessi. Per imparare a risolvere problemi numerici è necessario usare un libro di esercizi.

Indice

Capitolo 1
Richiami e preliminari

In questo capitolo si richiamano brevemente alcuni elementi del linguaggio matematico ed alcune nozioni note dai corsi precedenti. Inoltre, si introducono alcune proprietà nuove almeno per alcuni studenti. In particolare, in questo capitolo introdurremo la proprietà di Dedekind che è la proprietà che differenzia in modo essenziale i numeri reali dai numeri razionali.

1.1 Notazioni insiemistiche e logiche

Di regola indicheremo un insieme con una lettera maiuscola, per esempio $A$, $B$. Un insieme si identifica specificandone gli elementi, o elencandoli esplicitamente oppure mediante la proprietà che li caratterizza. Per esempio scriveremo

per indicare l’insieme i cui elementi sono i numeri positivi; oppure $A=\left\{1,2,3\right\}$ per indicare l’insieme i cui elementi sono i numeri $1$, $2$ e $3$.

Per indicare che un elemento $a$ appartiene ad $A$ si scrive $a\in A$ oppure $A\ni a$. Per dire che $a$ non appartiene ad $A$ si scrive $a\notin A$ oppure $A\not\ni a$.

Se ogni elemento di $B$ appartiene ad $A$ si dice che $B$ è contenuto in $A$, o che $B$ è un sottoinsieme di $A$, e si scrive $B\subseteq A$ oppure $A\supseteq B$.

E’ importante notare che $a$ ed $\left\{a\right\}$ sono oggetti diversi: il primo indica un elemento di un insieme e il secondo indica l’insieme il cui unico elemento è $a$. Quindi sono corrette le scritture $a\in A$, $a\in \left\{a\right\}$ ed $\left\{a\right\}\subseteq A$ mentre sono sbagliate le scritture $\left\{a\right\}\in A$ ed $a\subseteq A$.

Col simbolo $\varnothing$ si indica l’insieme vuoto, ossia l’insieme privo di elementi.

Le operazioni tra insiemi sono:

• l’intersezione di insiemi: $A\cap B$ è l’insieme i cui elementi sono tutti e soli quelli comuni ad $A$ e $B$. Se $A$ e $B$ sono disgiunti, ossia privi di elementi comuni, l’intersezione dei due è l’insieme vuoto. Si noti che $A\cap B=B\cap A$.
• l’unione di insiemi: $A\cup B$ è l’insieme i cui elementi sono sia quelli di $A$ che quelli di $B$. Si noti che $A\cup B=B\cup A$. L’unione di due insiemi è l’insieme vuoto se e solo se ambedue sono vuoti.
• la differenza di insiemi. Si indica con la notazione $A-B$ oppure $A\setminus B$: è l’insieme degli elementi di $A$ che non appartengono a $B$. Dunque, $A-B\ne B-A$ e inoltre:

  a) $A-B=A-\left(A\cap B\right)=A-\left(B\cap A\right)$.

  b) se $A$ e $B$ sono disgiunti, $A-B=A$ e $B-A=B$; se $A=B$ allora $A-B=B-A=\varnothing$.

• il prodotto cartesiano di due insiemi $A$ e $B$, presi in quest’ordine, prima $A$ e poi $B$, è l’insieme i cui elementi sono le coppie ordinate $\left(a,b\right)$, con $a\in A$ e $b\in B$:
  $$A\times B=\left\{\left(a,b\right)|a\in A,b\in B\right\}.$$

  Dunque, $A\times B\ne B\times A$, salvo nel caso in cui $A=B$.

• Gli insiemi vengono sempre a coppie: nel momento stesso in cui si definisce $A$ se ne definisce anche il complementare, ossia l’insieme di tutti gli elementi che non appartengono ad $A$.

  Il complementare di $A$ si indica con uno dei simboli $A^C$, $\mathcal{𝒞}A$ oppure $Ã$.

  Ovviamente, $A\cap Ã=\varnothing$.

  Lavorando in un “insieme ambiente“ $R$ prefissato, e quindi solo con suoi sottoinsiemi, usa definire il complementare di $A$ relativamente ad $R$

  $${\mathcal{𝒞}}_{R}A=\left\{a\in R|a\notin A\right\}.$$

  Ovviamente,

  $$A\cap {\mathcal{𝒞}}_{R}A=\varnothing ,A\cup {\mathcal{𝒞}}_{R}A=R.$$

  Molto spesso si sottintende l’insieme $R$ e, per indicare il complementare rispetto al (sottinteso) insieme $R$ si usano i simboli $A^C$, $\mathcal{𝒞}A$ oppure $Ã$.

1.2 Le implicazioni e i quantificatori $\exists$ e $\forall$

Per dire che una proprietà ne implica un’altra si usa il simbolo $\Rightarrow$. Per esempio

si legge “se $a$ è un elemento di $A$ allora $a$ è un numero positivo”. Per esempio, ciò vale se gli elementi di $A$ sono numeri pari positivi (ovviamente, non solo in questo caso); non vale se $A$ contiene anche il numero $-1$.

La doppia freccia $\iff$ si usa per indicare che due proprietà sono equivalenti. Per esempio

si legge “$a$ appartiene ad $A$ se e solo se è un numero positivo” e significa che gli elementi di $A$ sono tutti e soli i numeri positivi.

Il simbolo $\exists$ si legge “esiste”. Per esempio,

si legge “esiste $a$ in $A$ che è maggiore di zero” e vuol dire che l’insieme $A$ contiene almeno un numero positivo. Niente si dice degli altri elementi di $A$, che potrebbero anche non essere numeri.

Il simbolo $\forall$ si legge “qualsiasi” o “per ogni”. Per esempio,

si legge “per ogni elemento $a$ di $A$ segue che $a$ è un numero positivo” o, più semplicemente, “ogni elemento di $A$ è un numero positivo” ed è una notazione più precisa di (1.1).

1.3 Le funzioni

Col termine funzione si intende una trasformazione tra due insiemi $A$ e $B$ che ad ogni punto di $A$ associa al più un punto di $B.$²

Dunque, è possibile che un certo elemento di $A$ non abbia corrispondente in $B$.

Le funzioni si indicano con una lettera minuscola: $f$, $g$, $\varphi$ ….

Diciamo che $A$ è l’insieme di partenza della funzione mentre $B$ è l’insieme di arrivo.

Ripetiamo: è possibile che alcuni punti di $A$ non abbiano corrispondente, o come si dice più comunemente, immagine, in $B$. L’insieme dei punti di $A$ che ammettono corrispondente si chiama il dominio della funzione e si indica col simbolo $\text{ dom}f$ (se $f$ indica la funzione).

Per dire che la funzione $f$ trasforma $a$ in $b$ si scrive

L’insieme

si chiama l’immagine o il codominio della funzione $f$. L’immagine di $f$ si indica col simbolo $\text{ im}f$.

Una funzione la cui immagine è l’insieme di arrivo $B$ si dice suriettiva

E’ importante notare che la definizione di funzione è dissimmetrica: un elemento di $A$ deve avere al più un corrispondente, ma un elemento di $B$ può provenire anche da più elementi di $A$.

Si chiama controimmagine di $K\subseteq B$ l’insieme

Ovviamente, $f^{-1}\left(B\right)=\text{ dom}f$ e $f^{-1}\left(K\right)=\varnothing$ se $K\cap \left(\text{ im}f\right)=\varnothing$.

Niente vieta che l’insieme $K$ sia costituito da un solo punto $b$. Come si è detto, la controimmagine di $\left\{b\right\}$ è un sottoinsieme di $A$ che può contenere più di un elemento. Esso andrebbe indicato col simbolo $f^{-1}\left(\left\{b\right\}\right)$, ma usa scrivere più semplicemente $f^{-1}\left(b\right)$.

Infine, si chiama grafico di $f$ l’insieme

Siano ora $f$ e $g$ due funzioni da $A$ in $B$. Sia $H\subseteq A$. Diciamo che $f$ è restrizione di $g$ ad $H$ se

Ossia, $f$ opera su ciascun punto di $H$ esattamente come fa $g$.

La restrizione di $g$ ad $H$ si indica col simbolo

Sia ora $K\supseteq \text{ dom}f$. Diciamo che $g$ è estensione di $f$ a $K$

Ossia, $g$ opera come $f$ sui punti di $\text{ dom}f$, ed opera in un qualsiasi altro modo nei punti di $K$ nei quali $f$ non è definita.

Notare che la restrizione di una funzione ad un insieme è sempre unica, mentre l’estensione non è unica, salvo nel caso in cui l’insieme $B$ consista di un solo elemento, $B=\left\{b\right\}$, perché in tal caso le funzioni a valori in $B$ devono essere costanti.

1.3.1 Funzioni composte e funzioni inverse

Siano ora $f$ e $g$ due funzioni, con $f$ da $A$ in $B$ e $g$ da $B$ in $C$:

Se accade che

è possibile definire la funzione composta di $g$ con $f$, che si indica con $g\circ f$, in questo modo

definita sugli elementi $a\in A$ tali che abbia senso calcolare $g\left(f\left(a\right)\right)$; ossia:

Il simbolo che useremo più comunemente per la funzione composta è proprio $g\left(f\left(a\right)\right)$, lasciando sottinteso il dominio.

Si è notato che nella definizione di funzione $A$ e $B$ non giuocano ruoli “simmetrici”, nel senso che se $\left(a,b\right)$ ed $\left(a^{\prime },b^{\prime }\right)$ sono elementi del grafico e $a=a^{\prime }$ allora necessariamente $b=b^{\prime }$. Invece, è ben possibile che sia $b=b^{\prime }$ con $a\ne a^{\prime }$. Si chiamano iniettive le funzioni con questa proprietà: un elemento dell’immagine proviene da un solo elemento del dominio; ossia tali che se $\left(a,b\right)$ ed $\left(a^{\prime },b\right)$ sono nel grafico, allora $a=a^{\prime }$.

Le funzioni (univoche ed) iniettive vengono sempre a coppie: se $\left(a,b\right)$ è nel grafico di una funzione iniettiva, una prima funzione trasforma $a$ in $b$; una seconda funzione (anch’essa univoca ed iniettiva) trasforma $b$ in $a$. Queste due funzioni si dicono inverse l’una dell’altra.

In pratica, una delle due funzioni si intende data e l’altra deve determinarsi. In questo caso si assegna il simbolo $f$ alla funzione data e la sua inversa si indica col simboli $f^{-1}$.

Ricapitolando, $f$ opera da $A$ in $B$ mentre $f^{-1}$ opera da $B$ in $A$ con

e inoltre,

Una funzione $f$ dall’insieme di partenza $A$ a valori in $B$ il cui dominio è $A$ stesso e che è sia iniettiva che suriettiva si dice biunivoca

Controimmagine, funzione inversa ed equazioni

Sia $f$ una funzione da $H$ in $K$ e si consideri l’equazione

Ossia, dato $y\in K$ si vogliono trovare le $x\in H$ che verificano l’uguaglianza. In questo contesto, $y$ si chiama il “dato” del problema (notare, anche $f$ è data) ed $x$ si chiama l’“incognita”. Le $x$ che verificano l’equazione si chiamano le “soluzioni” dell’equazione.

E’ possibile che non esistano soluzioni. Ciò avviene se e solo se $y\notin \text{ im}f$. Inoltre, le soluzioni, se esistono, appartengono a $\text{ dom}f$.

Può essere che ci sia più di una soluzione. L’insieme di tutte le soluzioni si è indicato col simbolo $f^{-1}\left(y\right)$.

Per certe funzioni $f$ accade che l’equazione (1.2) ammette al più una soluzione per ogni dato $y$. Sono queste le funzioni iniettive, e per esse è possibile definire la funzione inversa

La funzione inversa fa corrispondere al dato $y$ l’unica soluzione dell’equazione $f\left(x\right)=y$. Questa è l’interpretazione della funzione inversa dal punto di vista di chi deve risolvere equazioni.

1.4 Insiemi di numeri

La maggior parte del corso userà insiemi di numeri reali.³ L’insieme dei numeri reali si indica col simbolo $ℝ$ e suoi sottoinsiemi notevoli sono:

• l’insieme dei numeri razionali relativi $\mathbb{Q}$.
• l’insieme dei numeri interi relativi $\mathbb{Z}$.
• l’insieme dei numeri naturali $\mathbb{N}$.

L’uso di questi insiemi numerici è noto dai corsi precedenti. Notiamo però esplicitamente che come insieme $\mathbb{N}$, dei naturali, si intende l’insieme dei numeri che si usano per contare: $1$, $2$,…A seconda dell’opportunità introdurremo anche $0$ in quest’insieme, oppure talvolta considereremo come “primo elemento” dei naturali un numero maggiore di uno. Molto spesso se $0$ si considera o meno come elemento di $\mathbb{N}$ viene implicitamente dedotto dalle notazioni usate. Per esempio, se definiamo

implicitamente escluderemo $0$ dall’insieme $\mathbb{N}$, perché la divisione per $0$ non può farsi.

Si sa che i numeri reali si possono porre in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta orientata ossia, come anche si dice, si rappresentano mediante i punti di una retta orientata. In questa rappresentazione, il numero più grande tra due corrisponde al un punto più a destra.⁴

Avendo identificato i numeri reali mediante punti di una retta, un numero reale verrà anche chiamato “punto” (di una retta precedentemente specificata, o sottintesa, spesso un punto dell’asse delle ascisse o delle ordinate).

E’ utile vedere il significato geometrico delle operazioni algebriche.

1.5 Ordine tra i numeri reali

Si sa che i numeri reali sono un insieme ordinato; ossia, dati due numeri reali è sempre possibile stabilire che uno è maggiore o uguale all’altro:

La proprietà di ordine verifica:

• per ogni $r\in ℝ$ si ha $r\le r$.
• se vale $r\le s$ ed anche $s\le r$ allora $r=s$.
• se $r\le s$ ed anche $s\le t$ allora $r\le t$.

Scriveremeo $r>s$ quando si intende di escludere che possa aversi l’uguaglianza $r=s$. chiameremo inoltre positivo oppure negativo un numero $r$ per cui $r>0$ oppure $r<0$.

L’ordine tra i numeri reali permette di definire la funzione segno Questa funzione si indica col simbolo $\text{ sgn}\left(x\right)$ ed è definita come segue⁵:

Si dice che due numeri $a$ e $b$ “hanno lo stesso segno”, o che “hanno segno concorde”, quando vale $\text{ sgn}\left(a\right)=\text{ sgn}\left(b\right)$.

Si può anche definire il concetto di intervallo

Sia $I$ un intervallo aperto e sia $x_0\in I$. Per dire brevemente che $I$ è aperto e che $x_0\in I$, si dice che $I$ è un intorno di $x_0$.

Se accade che $I$ ha forma $\left(x_0-a,x_0+a\right)$ allora l’intervallo aperto $I$ si chiama intorno simmetrico di $x_0$.

Per esempio, l’intervallo $\left(2,6\right)$ è intorno di $5$ ed è è intorno simmetrico di $4$.

Un intervallo aperto $\left(a,+\infty \right)$ si chiama anche intorno di $+\infty$ Un intervallo aperto di forma $\left(-\infty ,b\right)$ si chiama anche intorno di $-\infty$

Infine, osserviamo le proprietà che legano l’ordine con le operazioni:

• se $a\ge b$ si ha $a+r\ge b+r$ per ogni $r$;
• vale la “regola dei segni”: $ab\ge 0$ se e solo se i due numeri hanno segno concorde.

Si deduce da qui:

• se $a<b$ allora $-a>-b$ : cambiando segno, cambia il verso delle disuguaglianze;
• i due numeri $a$ e $b$ abbiano il medesimo segno. Allora vale

  $$a>b\iff \frac{1}{a}<\frac{1}{b}.$$

  (1.3)

1.5.1 Operazioni algebriche e punti della retta

Rappresentiamo i numeri reali mediante punti dell’asse delle ascisse (quindi, orizzontale) e indichiamo con $P_r$ il punto che rappresenta il numero reale $r$ (ricordiamo che il numero $0$ corrisponde ad $O$, origine delle coordinate).

In questa rappresentazione, il numero più grande tra due corrisponde al un punto più a destra. In particolare, $P_r$ è a destra di $O$ se $r>0$; è a sinistra se $r<0$; $P_{r+h}$ è ottenuto spostando $P_r$ verso destra se $h>0$, verso sinistra se $h<0$.

Il punto $P_{-r}$ è il simmetrico rispetto ad $O$ del punto $P_r$.

1.5.2 L’ordine ed il valore assoluto

Per definizione, si chiama valore assoluto di $r$ il numero $\left|r\right|$ cosìdefinito

Va osservato che:

• il numero $r$ può essere sia positivo che negativo. Se $r<0$ allora $-r>0$. Per esempio, se $r=-5$ allora $|-5|=-\left(-5\right)=+5>0$.
• E’ $\left|0\right|=0$ e quindi il segno di uguale in (1.4) può mettersi nella riga di sopra, o in quella di sotto, o in ambedue senza cambiare la definizione.
• La notazione $|r+a|$ è una notazione abbreviata per $\left|\left(r+a\right)\right|$; ossia, per calcolare $r+a$ si segue questo schema:
  $$r\to \left(r+a\right)\to \left|\left(r+a\right)\right|.$$

  In particolare, $|r+a|\ne \left|r\right|+a$ anche se $a>0$. Per esempio, se $r=-5$ si ha

  $$\begin{array}{c}|r+2|=\left|\left(r+2\right)\right|=\left|\left(-5+2\right)\right|=|-3|=3\hfill \\ \left|r\right|+2=5+2=7\ne |r+2|.\hfill \end{array}$$

Le relazioni tra il valore assoluto e le operazioni sono le seguenti

Usando la disuguaglianza triangolare, si può provare che vale anche:

Valore assoluto e distanza

Sia $P_a$ il numero che rappresenta $a$ sull’asse delle ascisse. Il numero $\left|a\right|$ rappresenta la distanza di $P_a$ dall’origine $O$. Se $b$ è un secondo numero e $P_b$ il punto dell’asse delle ascisse che gli corrisponde,

rappresenta la distanza dei due punti $P_a$ e $P_b$.

Notiamo ora un modo “complicato” per dire che un numero $a$ è nullo: basta dire che $\left|a\right|=0$, ossia basta richiedere che $P_a$ si sovrapponga all’origine $O$. Ciò può anche esprimersi richiedendo che $\left|a\right|$ sia più piccolo di ogni numero positivo; ossia

1.6 Insiemi limitati di numeri reali

Sia $A$ un sottoinsieme di $ℝ$. L’insieme $A$ si dice limitato superiormente se esiste un numero $M$ tale che

Ossia, $A$ è limitato superiormente se esiste un numero $M$ maggiore o uguali a tutti gli elementi di $A$. Il numero $M$ si chiama un maggiorante di $A$.

Ovviamente, se un maggiorante esiste ne esistono anche altri: se $M$ è un maggiorante, $M+1$, $M+2$,…lo sono.

Può accadere che un maggiorante di $A$ appartenga all’insieme $A$. Per esempio, se

allora sia $2$ che $2,5$ che $3$ ecc. sono maggioranti di $A$. Il numero $2$ è l’unico maggiorante che appartiene ad $A$.

Invece, l’insieme

ammette maggioranti. Per esempio $1$, $1+1∕2$ ecc., ma nessuno gli appartiene.

Un insieme contiene al più uno dei suoi maggioranti.

Se esiste, il maggiorante di $A$ che appartiene ad $A$ si chiama il massimo di $A$.

Esistono insiemi che non sono limitati superirmente, ossia che non ammettono maggioranti.

Si chiama minorante di $A$ un numero reale $m$ tale che per ogni $a\in A$ si abbia

Un insieme che ammette minoranti si chiama limitato inferiormente Se invece minoranti non esistono, l’insieme si chiama illimitato inferiormente

Un insieme può contenere al più uno dei suoi minoranti, il quale, se esiste, si chiama il minimo dell’insieme.

Un insieme che è limitato sia superiormente che inferiormente si dice limitato

La proprietà seguente è ovvia, ma va notata esplicitamente per l’uso che ne faremo in seguito:

Dim. Per ipotesi, esistono due numeri $M_1$ ed $M_2$ tali che:

Sia $M=max\left\{M_1,M_2\right\}$; ossia $M$ è il maggiore tra i due numeri $M_1$ ed $M_2$. Dunque si ha contemporaneamnete $M_1\le M$ ed $M_2\le M$.

Per definizione un elemento $c\in A\cup B$ appartiene ad $A$ oppure a $B$ (o ad ambedue). Se $c\in A$ allora $c\le M_1\le M$; se $c\in B$ allora $c\le M_2\le M$ . In ogni caso vale $c\le M$ e quindi $A\cup B$ è superiormente limitato.  $■$

Illimitatezza dell’insieme dei numeri naturali

L’insieme dei numeri naturali è limitato inferiormente ma non superiormente. Il fatto che sia superiormente illimitato si esprime come segue:

Naturalmente, la proprietà di Archimede può riformularsi dicendo che per ogni $𝜖>0$ esiste un numero $n\in \mathbb{N}$ tale che

Combinando quest’osservazione col Lemma 6 possiamo enunciare:

1.7 Estremi superiori ed inferiori

Consideriamo un insieme $A$ di numeri reali, che è superiormente limitato. Come si è detto, al più uno dei maggioranti di $A$ può appartenere ad $A$ e in tal caso tale maggiorante si chiama il massimo di $A$. Se $A$ è superiormente limitato, è certamente non vuoto l’insieme dei maggioranti di $A$. La proprietà cruciale che distingue $ℝ$ da $\mathbb{Q}$ è la seguente: Proprietà di Dedekind o completezza di $ℝ$: l’insieme dei maggioranti dell’insieme superiormente limitato $A$ ammette minimo in $ℝ$.  $■$

Ciò giustifica la definizione seguente:

Dunque, si ha

quando $L$ è il più piccolo dei maggioranti di $A$ e ciò può esprimersi richiedendo le due proprietà seguenti:

• $L$ è uno dei maggioranti di $A$; ossia:
  $$\forall a\in A\Rightarrow a\le L;$$

• $L$ è il più piccolo dei maggioranti di $A$; ossia, se $𝜖>0$ allora $L-𝜖$ non è un maggiorante. Dobbiamo quindi richiedere che per ogni $𝜖>0$ esista un elemento $a=a_{𝜖}$ di $A$ tale che
  $$L-𝜖<a_{𝜖}\le L.$$

In modo analogo si definisce estremo inferiore di $A$ il massimo dei minoranti di $A$. L’esistenza dell’estremo inferiore è equivalente a quella dell’estremo superiore ossia alla proprietà di Dedekind. Introduciamo ora una notazione: se l’insieme $A$ non è limitato superiormente, esso non ammette maggioranti e quindi non ammette estremo superiore. Introduciamo allora la notazione

che si legge “estremo superiore di $A$ uguale a più infinito” come notazione breve per dire che $A$ è illimitato superiormente. Analogamente, per dire che $A$ è illimitato inferiormente scriveremo

1.7.1 Conseguenze della proprietà di Dedekind

La proprietà di Dedekind è particolarmente importante perché permette di definire certi numeri che non esistono se non si lavora in $ℝ$. Per esempio, se $a>0$ :

indica un numero $b\ge 0$ tale che $b^n=a$. Ma, chi garantisce l’esistenza di $b$? Per esempio, se si decide di lavorare solamente con numeri razionali, $b^2=2$ è un’equazione priva di soluzioni. E infatti, in $\mathbb{Q}$ la proprietà di Dedekind non vale. Invece, in $ℝ$ il numero $b$ esiste e si definisce come

Senza entrare in dettagli ulteriori, diciamo che è grazie alla proprietà di Dedekind che in $ℝ$ si possono definire i numeri $a^r$ (per qualsiasi esponente reale $r$, se $a>0$) e (per $a$ positivo e diverso da $1$ ed $r>0$) si definisce il numero ${log}_{a}r$. Per definizione,

è il numero che risolve l’equazione

Ripetiamo, è grazie alla proprietà di Dedekind che questi numeri si possono definire.

1.8 Funzioni dall’insieme da $ℝ$ in $ℝ$

Le funzioni che si studiano nel corso di Analisi Matematica 1 operano dall’insieme dei numeri reali nell’insieme dei numeri reali, ossia sono funzioni da $ℝ$ in sé. Dato che $ℝ$ ha sottoinsiemi notevoli ed è dotato di operazioni e relazione di ordine, si introducono delle particolari definizioni atte ad identificare proprietà notevoli delle funzioni. Il grafico di una funzione reale di variabile reale si rappresenta usualmente rispetto ad un sistema di assi cartesiani ortogonali, con l’insieme di partenza sull’asse delle ascisse.

1.8.1 Le successioni

Un primo caso importante di funzione è quello in cui la funzione ha per dominio i numeri naturali. Una funzione il cui dominio è $\mathbb{N}$ si chiama successione Dunque, una successione dovrebbe indicarsi col simbolo $f\left(n\right)$. Si usa invece scrivere $\left(f_n\right)$ oppure $\left\{f_n\right\}$ per indicare una successione e la variabile $n$ in questo contesto si chiama indice

Sui numeri naturali ripetiamo la stessa osservazione fatta al paragrafo 1.4. Talvolta farà comodo partire dal primo elemento $0$, talvolta dal primo elemento $1$, talvolta magari scegliere di lavorare con i soli indici maggiori di un certo $n_0$.

1.8.2 Funzioni ed operazione di somma e prodotto

I numeri reali si sommano e la somma con un numero $h$ fissato è una funzione: la funzione $x\mapsto x+h$. Sia ora $f\left(x\right)$ una funzione che per semplicità pensiamo definita su $ℝ$. Si può quindi calcolare la funzione composta $x\mapsto f\left(x+h\right)$. Dal punto di vista del grafico, il grafico di $f\left(x+h\right)$ si ottiene traslando quello di $f\left(x\right)$ verso destra se $h<0$; verso sinistra se $h>0$. Può accadere che per un certo valore di $T\ne 0$ i grafici di $f\left(x\right)$ e di $f\left(x+T\right)$ siano indistinguibili; ossia potrebbe accadere che esista un numero $T>0$ tale che

In questo caso la funzione $f\left(x\right)$ si dice periodica di periodo $T$. Si noti che:

• esistono funzioni periodiche il cui dominio non è $ℝ$, per esempio la funzione $tanx$;
• se una funzione è periodica, essa ammette infiniti periodi: $T$, $-T$, $2T$, $-2T$ ecc. Se esiste un minimo periodo positivo questo si dice il periodo di $f\left(x\right)$. Per esempio, $tanx$ ha periodo $\pi$ mentre $sinx$ ha periodo $2\pi$.

Tra i numeri reali si può fare anche il prodotto. Si può quindi considerare la trasformazione $x\mapsto ax$ che, se $a$ è positivo corrisponde niente altro che a un cambiamento dell’unità di misura. Quindi il grafico della funzione $f\left(ax\right)$ si ottiene da quello di $f\left(x\right)$ “allargandolo” o “comprimendolo”, in senso orizzontale. Più interessante è la moltiplicazione per numeri negativi, e basta considerare la moltiplicazione per $-1$. Il grafico di $f\left(-x\right)$ si ottiene da quello di $f\left(x\right)$ facendone il simmetrico rispetto all’asse delle ordinate.

Può accadere che i due grafici, di $f\left(x\right)$ e di $f\left(-x\right)$, coincidano; ossia che valga

In questo caso la funzione si dice una funzione pari Il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate. Consideriamo invece $g\left(x\right)=-f\left(x\right)$. Il grafico di $g\left(x\right)$ si ottiene da quello di $f\left(x\right)$ facendone il simmetrico rispetto all’asse delle ascisse. Si accade che questo coincide col grafico di $f\left(-x\right)$ la funzione si chiama dispari Ossia, una funzione dispari è una funzione che verifica

Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all’origine. I due casi sono illustrati nella figura 1.3. Ripetiamo che le funzioni che si considerano potrebbero non essere definite su $ℝ$; però:

• una funzione periodica ha dominio illimitato;
• una funzione pari oppure dispari ha dominio simmetrico rispetto ad $O$.

Estensioni pari, dispari e per periodicità

Sia $f\left(x\right)$ una funzione il cui dominio è contenuto in $\left[0,+\infty \right)$. La sua estensione pari è definita imponendo $f\left(x\right)=f\left(-x\right)$. La sua estensione dispari è definita imponendo $f\left(x\right)=-f\left(-x\right)$. Si possono trovare espressioni esplicite per queste estensioni: l’estensione pari è $f\left(\left|x\right|\right)$. Invece, l’estensione dispari ha un’espressione più complicata. Non è necessario conoscerla, ma trovarla è un utile esercizio (si vedano gli esercizi alla fine di questo capitolo). Analogamente, sia $f\left(x\right)$ definita su $\left[0,T\right]$. La sua estensione per periodicità si ottiene in questo modo: dato $x\notin \left[0,T\right]$ si calcola $n\in \mathbb{Z}$ tale che $x-nT\in \left[0,T\right]$. Si pone quindi

1.8.3 Funzioni e relazione di ordine

L’uso della relazione di ordine conduce ai concetti importantissimi di funzione limitata, funzione monotona (crescente o decrescente) e funzione convessa

Le funzioni limitate

Una funzione $f\left(x\right)$ si dice limitata superiormente quando è limitata superiormente la sua immagine; ossia quando esiste un numero $M$ tale che per ogni $x\in \text{ dom}f$ si ha

Dunque, una funzione è limitata superiormente se e solo se i punti $\left(x,f\left(x\right)\right)$ del suo grafico appartengono al semipiano

Analogamente, una funzione è limitata inferiormente se è limitata inferiormente la sua immagine; ossia se e siste $m$ tale che $f\left(x\right)>m$ per ogni $x\in \text{ dom}f$; ed è limitata se limitata è la sua immagine, ossia se esistono $m$ ed $M$ tali che $m<f\left(x\right)<M$ per ogni $x\in \text{ dom}f$. Inoltre:

Infine, notiamo questa proprietà, conseguenza del Lemma 7:

Dim. Si noti che $\text{ im }f=\left(\text{ im }{f}_1\right)\cup \left(\text{ im }{f}_2\right)$, ambedue insiemi limitati, e si usi il Lemma 7.  $■$

Analogo enunciato vale se si considera la sola limitatezza da sopra o da sotto. In particolare:

Ossia: il valore che la funzione prende in un solo punto non influisce sulla proprietà della funzione di essere o meno limitata.

La monotonia

Una funzione si dice monotona crescente quando:

Si dice monotona decrescente quando:

Si noti che le disuguaglianze tra i punti $x_i$ sono strette, mentre a destra potrebbe valere anche l’uguaglianza. Si parla di funzioni strettamente monotone quando sono monotone ed inoltre $x_1\ne x_2$ implica $f\left(x_1\right)\ne f\left(x_2\right)$. Un modo apparentemente più complicato, ma più utile, di definire la monotonia è il seguente: una funzione è crescente se $\left(f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right)$ ha lo stesso segno di $\left(x_1-x_2\right)$; decrescente se i segni sono opposti. Usando la regola dei segni:

• Una funzione è crescente su $I$ se
  $$\forall x_1\in I,\forall x_2\in I\text{tali che }{x}_1\ne x_2\text{ si ha }\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}\ge 0;$$

• Una funzione è decrescente su $I$ se
  $$\forall x_1\in I,\forall x_2\in I\text{tali che }{x}_1\ne x_2\text{ si ha }\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}\le 0.$$

In queste relazioni va richiesto $x_1\ne x_2$ (non si può dividere per $0$) ma l’ordine in cui si susseguono $x_1$ ed $x_2$ non interviene.

Osservazione 14 E’ bene osservare quanto segue:

• la funzione $tanx$ non è monotona sul suo dominio.
• Ogni funzione strettamente monotona è iniettiva e quindi invertibile.
• Esistono funzioni iniettive e non monotone. Un esempio è la funzione $f\left(x\right)=tanx$ definita sull’insieme $\left[0,\pi \right)-\left\{\pi ∕2\right\}$. Questa funzione trasforma il suo dominio, che non è un intervallo, in modo biunivoco su $ℝ$. Si possono anche trovare funzioni iniettive e non monotone, che trasformano intervalli limitati in intervalli limitati, come per esempio la funzione
  $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}x\hfill & \text{ se}\hfill & 0\le x<1\hfill \\ 3-x\hfill & \text{ se}\hfill & 1\le x\le 2.\hfill \end{array}\right.$$

  I grafici sono in figura  1.4  $■$

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figure 1.4: Funzioni iniettive ma non monotone.

Funzione tangente

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MONOTONIA E FUNZIONE INVERSA

Naturalmente, una funzione strettamente monotona è iniettiva e quindi ammette funzione inversa. Una funzione strettamente crescente (decrescente) ha funzione inversa strettamente crescente (decrescente). Infatti,

$$f\left(x_1\right)=y_1,f\left(x_2\right)=y_2\Rightarrow \frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\frac{y_1-y_2}{f^{-1}\left(y_1\right)-f^{-1}\left(y_2\right)}$$

e quindi i due rapporti hanno il medesimo segno. Ripetiamo che gli esempi in figura 1.3 mostrano che esistono funzioni non monotone ed invertibili.

1.8.4 I punti di estremo

Se vale $f\left(x_0\right)\ge f\left(x\right)$ per ogni $x\in \text{ dom}f$, il numero $f\left(x_0\right)$ è il massimo dell’immagine della funzione ed il punto $x_0$ si chiama punto di massimo per la funzione $f\left(x\right)$. Se vale $f\left(x_0\right)\le f\left(x\right)$ per ogni $x\in \text{ dom}f$, il numero $f\left(x_0\right)$ è il minimo dell’immagine della funzione ed il punto $x_0$ si chiama punto di minimo per la funzione $f\left(x\right)$. Supponiamo che esista un intorno $I$ di $x_0$ e che $x_0$ sia punto di massimo oppure di minimo per la restrizione di $f\left(x\right)$ a tale intorno. Allora, il punto $x_0$ si dice rispettivamente punto di massimo relativo oppure punto di minimo relativo della funzione $f\left(x\right)$. I punti di massimo oppure di minimo si chiamano punti di estremo della funzione. Invece che “estremo relativo” si dice anche estremo locale Per distinguere i punti di massimo o di minimo dai punti di massimo o di minimo relativo i primi si chiamano anche estremi assoluti o estremi globali della funzione: massimi o minimi assoluti, equivalentemente massimi o minimi globali. Infine, notiamo questa proprietà:

Lemma 15 Sia $f\left(x\right)$ definita su un intervallo $\left[a,b\right]$ e sia $c\in \left(a,b\right)$. Supponiamo che la restrizione di $f\left(x\right)$ ad $\left[a,c\right]$ sia crescente e che la restrizione a $\left[c,b\right]$ sia decrescente. Allora, il punto $c$ è punto di massimo per la funzione $f\left(x\right)$. Invece, il punto $c$ è punto di minimo se $f\left(x\right)$ decresce su $\left[a,c\right]$ e cresce su $\left[c,b\right]$.

Facendo opportuni esempi, si mostri che niente può dirsi se $f\left(x\right)$ è crescente su $\left[a,c\right)$ e decrescente su $\left(c,b\right]$.

1.8.5 La convessità

A differenza delle definizioni di funzione limitata e di funzione monotona, la definizione di funzione convessa si applica solo a funzioni definite su intervalli. Sia $f\left(x\right)$ una funzione definita su un intervallo $\left[a,b\right]$. Per fissare le idea, richiediamo che l’intervallo sia chiuso e limitato, ma ciò non è importante. Per la definizione di funzione convessa, è importante che il dominio sia un intervallo. Siano $x_1$ ed $x_2$ due punti in $\left[a,b\right]$. Si chiama corda il segmento che unisce i punti $\left(x_1,f\left(x_1\right)\right)$ ed $\left(x_2,f\left(x_2\right)\right)$. La funzione $f\left(x\right)$ si dice convessa se la proprietà seguente vale per ogni coppia di punti $x_1$ ed $x_2$ in $\left[a,b\right]$: il grafico della restrizione di $f\left(x\right)$ ad $\left[x_1,x_2\right]$ è sotto la corda che unisce $\left(x_1,f\left(x_1\right)\right)$ con $\left(x_2,f\left(x_2\right)\right)$. Non si esclude che il grafico possa almeno in parte coincidere con la corda stessa. Se $-f\left(x\right)$ è convessa, la funzione $f\left(x\right)$ si dice concava La figura 1.5 riporta il grafico di una funzione convessa e di una né concava né convessa.

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figure 1.5: Sinistra: funzione convessa; destra: funzione né concava né convessa

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Quando una funzione è convessa si dice anche che il suo grafico ha la concavità rivolta verso l’alto.

1.8.6 Grafici di funzioni elementari

Si riportano i grafici di alcune funzioni elementari, ossia:

• le funzioni $f\left(x\right)=x^2$ ed $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ in figura 1.5, a sinistra e $f\left(x\right)=x^3$ ed $f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}$ in figura 1.6, a destra;

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  figure 1.6: Grafico a sinistra con $n=2$, $f\left(x\right)=x^n$ ed $f\left(x\right)=\sqrt[n]{x}$; a destra con $n=3$ $f\left(x\right)=\sqrt[n]{x}$, ed $f\left(x\right)=\sqrt[n]{x}$

  

  ---

• la funzione $f\left(x\right)=\left|x\right|$ e la funzione $H\left(x\right)$
  $$H\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}+1\hfill & \text{ se}\hfill & x>0\hfill \\ 0\hfill & \text{ se}\hfill & x\le 0\hfill \\ \hfill \end{array}\right.$$

  La funzione $H\left(x\right)$ si chiama funzione di Heaviside I grafici sono in figura 1.7.

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  figure 1.7: Sinistra valore assoluto; a destra funzione di Heaviside (grafico punteggiato)

  

  ---

• ricordiamo che la funzione segno è la funzione
  $$\text{ sgn}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}+1\hfill & \text{ se}\hfill & x>0\hfill \\ 0\hfill & \text{ se}\hfill & x=0\hfill \\ -1\hfill & \text{ se}\hfill & x<0\hfill \end{array}\right.$$

  Il grafico è in figura 1.8, a sinistra. Per esercizio, si faccia il grafico della funzione

  $$f\left(x\right)=\frac{x}{\left|x\right|}$$

  e si confronti con quello della funzione $\text{ sgn}\left(x\right)$.

• la funzione parte intera Questa funzione si indica col simbolo $\left[x\right]$ e ad ogni $x$ reale fa corrispondere il più grande intero minore od uguale ad $x$. Il grafico è in figura 1.8, a destra.

  ---

  
  

  figure 1.8: Funzione $\text{ sgn}\left(x\right)$ a sinistra e funzione $\left[x\right]$ (segno di $x$) a destra

  

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• la funzione mantissa Questa funzione si indica col simbolo $M\left(x\right)$ e per definizione è
  $$M\left(x\right)=x-\left[x\right]$$

  (ove $\left[\dots \right]$ indica “parte intera”). Il grafico è in figura 1.9, a sinistra⁶

• la funzione seno cardinale, abbreviata sinc. Si tratta della funzione
  $$sincx=\frac{sin\pi x}{\pi x}.$$

  Il grafico è in figura 1.9, a destra.

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  figure 1.9: Sinistra la funzione mantissa, ed destra funzione seno cardinale

  

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• le due funzioni di Fresnel Le funzioni di Fresnel sono le funzioni $sin{x}^2$ e $cos{x}^2$. I grafici sono in figura 1.10.

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  figure 1.10: Le due funzioni di Fresnel: a sinistra $sin{x}^2$, a destra $cos{x}^2$

  

  ---

A partire da una data funzione $f\left(x\right)$ si definiscono inoltre le funzioni seguenti:

$$\begin{array}{c}\hfill f_{+}\left(x\right)=max\left\{f\left(x\right),0\right\}=\left\{\begin{array}{ccc}f\left(x\right)\hfill & \text{ se}\hfill & f\left(x\right)\ge 0\hfill \\ 0\hfill & \hfill & \text{ altrimenti,}\hfill \end{array}\right.\\ \hfill f_{-}\left(x\right)=min\left\{f\left(x\right),0\right\}=\left\{\begin{array}{ccc}f\left(x\right)\hfill & \text{ se}\hfill & f\left(x\right)\le 0\hfill \\ 0\hfill & \hfill & \text{ altrimenti.}\hfill \end{array}\right.\end{array}$$

Si faciano alcuni esempi e si noti che:

$$f\left(x\right)=f_{+}\left(x\right)+f_{-}\left(x\right),\left|f\left(x\right)\right|=f_{+}\left(x\right)-f_{-}\left(x\right).$$

1.8.7 Grafici di funzioni inverse l’una dell’altra

Premettiamo un’osservazione: consideriamo il punto $P\left(a,b\right)$ del piano cartesiano e vogliamo disegnare il punto $Q\left(b,a\right)$. Questo coincide con $P$ se $a=b$; altrimenti ne è il simmetrico⁷ rispetto alla prima bisettrice. Ossia si ottiene considerando la retta per $P$ ortogonale alla prima bisettrice; prendendo il punto $Q$ su tale retta, dalla parte opposta di $P$ e che ha la medesima distanza dalla bisettrice. Si studi in particolare come i punti $\left(t,0\right)$, con $a\le t\le b$, si ottengono dai punti $\left(0,t\right)$; i punti $\left(t,2t\right)$ dai punti $\left(2t,t\right)$. Siano $f$ e $g=f^{-1}$ due funzioni inverse l’una dell’altra. Allora, se $f$ opera dall’asse delle ascisse ed ha immagine sull’asse delle ordinate, la $g$ opera dall’asse delle ordinate ed ha immagine sull’asse delle ascisse. Il punto $y$ appartiene al dominio di $g$ quando $y=f\left(x\right)$ (per una unica $x$) e in tal caso il corrispondente di $y=f\left(x\right)$ è proprio $g\left(y\right)=x$. Quindi, se abbiamo il grafico di $f$, abbiamo anche il grafico di $g$, ma con l’insieme di partenza rappresentato dall’asse delle ordinate. In pratica vogliamo rappresentare $g$ nel modo usuale, ossia con l’insieme di partenza sull’asse delle ascisse. Per questo notiamo che il punto $\left(y,g\left(y\right)\right)$ del grafico di $g$, disegnato con l’insieme di partenza sull’asse delle ascisse, ha coordinate $\left(f\left(x\right),x\right)$, punto simmetrico, rispetto alla prima bisettrice, di $\left(x,f\left(x\right)\right)$. Ciò vale per tutti i punti del grafico e quindi il grafico di $g$ si ottiene a partire da quello di $f$, facendone il simmetrico rispetto alla prima bisettrice, come in figura 1.11.

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figure 1.11: Grafici di funzioni l’una inversa dell’altra: $\sqrt{x}$ inversa di $x^2$ e $logx$ inversa di $e^x$

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Particolari funzioni inverse sono la funzione esponenziale e la funzione logaritmo (con la medesima base $a>0$ e diversa da $1$). Infatti, la funzione ${log}_{a}x$ si ottiene risolvendo rispetto ad $y$ l’equazione

$$a^y=x.$$

La funzione $a^x$ ha dominio $ℝ$ ed immagine $\left(0,+\infty \right)$. Dunque, ${log}_{a}x$ ha dominio $\left(0,+\infty \right)$ ed immagine $ℝ$. La figura 1.13 riporta i grafici delle funzioni logaritmo ed esponenziale nel caso $0<a<1$ (a sinistra) e nel caso $a>1$ a destra.

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figure 1.12: A sinistra nel caso $0<a<1$ funzione esponenziale e logaritmo; a destra nel caso $a>1$ funzione esponenziale e logaritmo.

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Può accadere che certe funzioni non siano invertibili, ma che le loro restrizioni ad opportuni insiemi lo siano. In tal caso si potrà considerare la funzione inversa di tali restrizioni. Per esempio, la funzione $\sqrt{y}$, con $y\ge 0$, si ottiene risolvendo l’equazione

$$x^2=y$$

e imponendo l’ulteriore condizione $x>0$. La soluzione, con la condizione $x>0$, è unica e quindi la restrizione ad $x>0$ di $f\left(y\right)=x^2$ è invertibile. Per esercizio, si traccino i grafici di queste funzioni. Quindi si tracci il grafico della funzione $f\left(x\right)=x^2$ definita su $x\le 0$, e il grafico della sua funzione inversa, che è $g\left(x\right)=-\sqrt{x}$.

1.8.8 Le inverse delle funzioni trigonometriche

Le funzioni trigonometriche, essendo periodiche, non sono iniettive e quindi nemmeno invertibili. E’ però possibile trovare degli intervalli su cui le restrizioni delle funzioni trigonometriche sono iniettive e quindi invertibili. Le funzioni che si ottengono mediante restrizioni ad intervalli particolari si incontrano spesso in pratica, ed hanno nomi particolari. I loro grafici sono in figura 1.12.

La funzione $arctanx$ La restrizione della funzione $tanx$ all’intervallo $\left(-\pi ∕2,\pi ∕2\right)$ ha immagine $ℝ$, è monotona strettamente crescente e quindi invertibile. La sua funzione inversa ha dominio $ℝ$ ed immagine $\left(-\pi ∕2,\pi ∕2\right)$. La funzione inversa della restrizione di $tanx$ all’intervallo $\left(-\pi ∕2,\pi ∕2\right)$ si chiama “arcotangente” e si indica col simbolo $arctanx$.

La funzione $arcsinx$ La restrizione di $sinx$ all’intervallo $\left[-\pi ∕2,\pi ∕2\right]$ ha immagine $\left[-1,1\right]$, è strettamente crescente e quindi invertibile. La sua funzione inversa ha dominio $\left[-1,1\right]$ ed immagine $\left[-\pi ∕2,\pi ∕2\right]$. La funzione inversa della restrizione di $sinx$ all’intervallo $\left[-\pi ∕2,\pi ∕2\right]$ si chiama “arcoseno” e si indica col simbolo $arcsinx$.

La funzione $arccosx$ La restrizione di $cosx$ all’intervallo $\left[0,\pi \right]$ ha immagine $\left[-1,1\right]$, è strettamente decrescente e quindi invertibile. La sua funzione inversa ha dominio $\left[-1,1\right]$ ed immagine $\left[0,\pi \right]$. La funzione inversa della restrizione di $cosx$ all’intervallo $\left[0,\pi \right]$ si chiama “arcoCOseno” e si indica col simbolo $arccosx$.

La funzione arccotg $x$La restrizione funzione $cotx$ all’intervallo $\left(0,\pi \right)$ ha immagine $ℝ$, è monotona strettamente decrescente e quindi invertibile. La sua funzione inversa ha dominio $ℝ$ ed immagine $\left(0,\pi \right)$. La funzione inversa della restrizione di $cotx$ all’intervallo $\left(0,\pi \right)$ si chiama “arcoCOtangente” e si indica col simbolo $\text{ arccotg}x$.

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figure 1.13: Le funzioni trigonometriche e le relative inverse: $sinx$ e la sua inversa $arcsinx$; $cosx$ e la sua inversa $arccosx$; $tanx$ e la sua inversa $arctanx$; $cotx$ e la sua inversa $x$

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1.9 Funzioni ed “espressioni analitiche”

Per ragioni didattiche le funzioni che si studiano sono spesso assegnate mediante “espressioni analitiche”⁸, ossia specificando certe operazioni da applicare ad una “variabile”: per esempio della variabile si calcolano le potenze, i logarirmi, il valore assoluto ecc., e queste operazioni si combinano insieme per “definire” una funzione. Di conseguenza si è portati a confondere tali operazioni analitiche col concetto stesso di funzione. E’ importante sottolineare che ciò è sbagliato. Prima di tutto non è vero che ogni funzione si assegni mediante “espressioni analitiche”. Si pensi per esempio alla mantissa o alla funzione che ad ogni numero assegna l’intero più vicino. Oppure, si pensi ad una funzione ottenuta mediante misure sperimentali, come quella che rappresenta la temperatura registrata da un termografo in un certo luogo e durante un certo intervallo di tempo. D’altra parte, una funzione è una trasformazione da un assegnato dominio; e il dominio deve essere dato nello stesso momento in cui si assegna la funzione. Consideriamo ora quest’esempio: sia

$$\begin{array}{ccc}\hfill & \hfill & \hfill f\left(x\right)=\sqrt{2x}\text{definita per }x\in \left[0,1\right]\\ \hfill & \hfill & \hfill g\left(x\right)=x^2\text{definita per }x\in ℝ.\end{array}$$

La funzione composta

$$g\left(f\left(x\right)\right)=2x$$

ha dominio $\left[0,1\right]$ ed è quindi ben diversa dall’“espressione analitica” $2x$, che può essere calcolata per ogni $x$. Se vogliamo considerare $2x$ come funzione su $ℝ$, questa non è $g\left(f\left(x\right)\right)$: è una delle infinite estensioni ad $ℝ$ di $g\left(f\left(x\right)\right)$. Ciò nonostante negli esercizi d’esame compaiono frequentemente testi del tipo “determinare il dominio della funzione”. Convenzionalmente e al solo scopo di verificare la capacità di risolvere disequazioni, nei compiti d’esame si assume che una funzione sia definita sul più grande insieme sul quale tutte le operazioni che entrano nella sua definizione si possono fare. Considerando l’esempio delle due funzioni $f\left(x\right)$ e $g\left(x\right)$ date sopra, diremo convenzionalmente che $f\left(x\right)$ è definita per $x\ge 0$ e quindi che

$$g\left(f\left(x\right)\right)={\left(\sqrt{2x}\right)}^2$$

è anch’essa definita per $x\ge 0$. E’ sbagliato dire che $g\left(f\left(x\right)\right)$ è definita su $ℝ$.

1.10 Appendice: progressioni

Si chiamano progressioni certe successioni particolari. Tra queste le progressioni aritmetiche e le progressioni geometriche. le progressioni aritmetiche sono le successioni $\left\{x_n\right\}$ per cui

$$x_1=a,x_2=a+d,x_3=a+2d,x_{n-1}=a+\left(n-2\right)d,x_n=a+\left(n-1\right)d\dots \dots$$

Si noti che il primo indice della successione aritmetica è $1$. Serve ricordare questa convenzione per interpretare correttamente le formule. La proprietà essenziale delle progressioni aritmetiche è che

$$x_n+x_1=2a+\left(n-1\right)d=x_{n-1}+x_2=x_{n-2}+x_3\dots \dots$$

Vale

$$S_n=\sum _{k=1}^n{x}_k=n\frac{x_0+x_n}{2}=n\frac{2a+\left(n-1\right)d}{2}.$$

Infatti,

$$\begin{array}{ccc}\hfill & \hfill & \hfill 2S_n=\left(x_1+x_2+\cdots +x_{n-1}+x_n\right)+\left(x_n+x_{n-1}+\cdots +x_2+x_1\right)\\ \hfill & \hfill & \hfill =\left(x_1+x_n\right)+\left(x_2+x_{n-1}\right)+\dots \left(x_{n-1}+x_2\right)+\left(x_n+x_1\right)& \hfill \\ \hfill & \hfill & \hfill =n\left(x_1+x_n\right)=n\left(2a+\left(n-1\right)d\right).\end{array}$$

Nel caso particolare $a=0$ e $d=1$ si trova

$$\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\cdots +\left(n-1\right)+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}.$$

(1.5)

Invece, non esitono formule per il prodotto dei termini di una successione aritmetica. Si chiama progressione geometrica una successione $\left\{x_n\right\}$ tale che

$$x_0=a=a{q}^0,x_1=aq,x_2=a{q}^2,x_n=a{q}^n,\dots \dots$$

Il numero $q$ si chiama ragione della progressione geometrica. Si noti che il primo indice della successione geometrica è $0$. Serve ricordare questa convenzione per interpretare correttamente le formule. Un fatto importante delle successioni geometriche è che esistono formule sia per il prodotto che per la somma dei primi $n+1$ elementi (quelli di indice da $0$ ad $n$). A noi interessa principalmente la formula per la somma. Indichiamo tale somma con $S_n$:

$$S_n=a\left(1+q+q^2+q^3+\cdots +q^{n-1}+q^n\right).$$

Notiamo che

$$\begin{array}{ccc}\hfill & \hfill & \hfill S_n+a{q}^{n+1}=a\left(1+q+q^2+q^3+\cdots +q^{n-1}+q^n+q^{n+1}\right)=\\ \hfill & \hfill & \hfill a\left(1+q\left(1+q+q^2+q^3+\cdots +q^{n-1}+q^n\right)\right)=& \hfill \\ \hfill & \hfill & \hfill a+q{S}_n\end{array}$$

da cui

$$S_n=a\left(1+q+q^2+q^3+\cdots +q^{n-1}+q^n\right)=a\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.$$

(1.6)

Per completezza diamo anche la formula del prodotto

$$P_n=x_0\cdot x_1\cdot x_2\cdots x_{n-1}\cdot x_n.$$

Ricordiamo che in questo prodotto ogni i fattori sono $x_k=a{q}^k$ con $k$ che prende anche il valore $0$. Dunque il fattora $a$ compare $\left(n+1\right)$ volte (una volta quando l’indice è $0$, una volta quando l’indice è $1$ ecc.) e, ricordando la (1.5),

$$P_n=a^{n+1}\cdot q\cdot q^2\cdot q^n=a^{n+1}{q}^{1+2+\cdot +n}=a^{n+1}{q}^{n\left(n+1\right)∕2}.$$

1.11 Alcuni esercizi

1. Dire se è possibile che $A\cap B$ oppure $A-B$ siano limitati, con $A$ e $B$ ambedue insiemi illimitati di $ℝ$.
2. Sia $B^C$ il complementare di $B$. Provare le uguaglianze

   $$A\cap B=A\setminus B^C,{\left(A\cup B\right)}^C=A^C\cap B^C,{\left(A\cap B\right)}^C=A^C\cup B^C.$$

3. Siano $f\left(t\right)$ e $g\left(t\right)$ due qualsiasi funzioni a valori reali, definite su $ℝ$. Mostrare che valgono le uguaglianze

   $$\begin{array}{ccc}\hfill & \left\{x|f\left(t\right)\le t,g\left(x\right)\le t\right\}=\left\{x|f\left(x\right)\le t\right\}\cap \left\{|g\left(x\right)\le t\right\}=\hfill & \hfill \\ \hfill & =\left\{x|f\left(x\right)\le t\right\}\setminus \left\{x|g\left(x\right)>t\right\}=\left\{x|f\left(x\right)\le t\right\}\cap {\left\{x|g\left(x\right)>t\right\}}^{\mathcal{𝒞}}.\hfill \end{array}$$

4. Siano $a$ e $b$ due numeri reali non nulli, con lo stesso segno, e tali che $a>b$. Mostrare che $1∕a<1∕b$. Discutere cosa accade se $a$ e $b$ hanno segno opposto.
5. ($\star$)  Rappresentare sul piano cartesiano ciascuno degli insiemi

   $$\begin{array}{ccc}\hfill \left\{\left(x,y\right)|x^2<y^2\right\},& \left\{\left(x,y\right)\left|\right|x|<|y|\right\},\hfill & \hfill \left\{\left(x,y\right)|x^3<y^3\right\},\\ \hfill \left\{\left(x,y\right)|x^2\le y^2\right\},& \left\{\left(x,y\right)\left|\right|x|\le |y|\right\},\hfill & \hfill \left\{\left(x,y\right)|x^3\le y^3\right\}.\end{array}$$

6. Dire se esistono funzioni da $ℝ$ in sé che soddisfano ad una delle proprietà seguenti:
   • $\forall c\in ℝ,\forall x\in \text{ dom}f$ si ha $f\left(x\right)>c$;
   • $\forall c\in ℝ\exists x\in \text{ dom }f$ tale che $f\left(x\right)>c$.

   Scrivere inoltre la negazione delle proposizioni precedenti, e dire se esistono funzioni che verificano le proposizioni ottenute.

7. Si dica se è possibile che $f\left(x\right)$ sia contemporaneamente pari e dispari.
8. Si dica se è possibile che valga $f\left(x\right)=\left|f\left(x\right)\right|$, $f\left(x\right)=f\left(\left|x\right|\right)$, $f\left(x\right)=f\left(\left|x\right|\right)=\left|f\left(x\right)\right|$.
9. Si dica se una funzione pari può essere iniettiva.
10. Si dica se una funzione pari può essere monotona oppure strettamente monotona.
11. Si dica se una funzione dispari può essere iniettiva oppure non iniettiva; monotona crescente oppure decrescente.
12. Il dominio di una funzione periodica deve essere “invariante per traslazioni”; ossia, se $T$ è un periodo e se $x\in \text{ dom}f$, deve essere $x+T\in \text{ dom}f$. Mostrare che anche $x+rT\in \text{ dom}f$ per ogni intero $r$.
13. Si dica se una funzione periodica può essere monotona, strettamente o meno.
14. Disegnare il grafico di una funzione $f\left(x\right)$ e, a partire da esso, si disegnino i grafici di $f_{+}\left(x\right)$, $f_{-}\left(x\right)$, $f\left(\left|x\right|\right)$, $\left|f\left(x\right)\right|$, $\text{ sgn}\left(f\left(x\right)\right)$, $f\left(\text{ sgn}\left(x\right)\right)$ , $H\left(f\left(x\right)\right)$ ed $f\left(H\left(x\right)\right)$ ove $H\left(x\right)$ indica la funzione di Heaviside.
15. Mostrare che la somma ed il prodotto di funzioni limitate sono funzioni limitate.
16. Sia $f\left(x\right)$ definita su $\left(0,1\right)$ come segue: se $x$ è irrazionale, $f\left(x\right)=0$; se $x$ è razionale, sia $x=p∕q$ la sua unica rappresentazione come frazione ridotta ai minimi termini. Allora $f\left(x\right)=f\left(p∕q\right)=1∕q$. Mostrare che la funzione è illimitata in ogni sottointervallo di $\left(0,1\right)$.
17. I domini di due funzioni $f\left(x\right)$ e $g\left(x\right)$ sono contenuti in $ℝ$ ed inoltre $f\left(x\right)$ estende $g\left(x\right)$. Cosa può dirsi degli estremi inferiori e superiori dei domini?
18. I domini di due funzioni $f\left(x\right)$ e $g\left(x\right)$ sono contenuti in $ℝ$. Si sa che
    $$inf\left(\text{ dom}f\left(x\right)\right)=inf\left(\text{ dom}g\left(x\right)\right),sup\left(\text{ dom}f\left(x\right)\right)=sup\left(\text{ dom}g\left(x\right)\right).$$

    Dire se è possibile che $f\left(x\right)$ estenda $g\left(x\right)$.

19. Due sottoinsiemi di $ℝ$ hanno i medesimi estremi superiori ed inferiori. Dire se può essere che gli insiemi siano diversi.
20. Due intervalli hanno i medesimi estremi superiori ed inferiori. Dire se può essere che gli intervalli siano diversi.
21. Due intervalli ambedue aperti hanno i medesimi estremi superiori ed inferiori. Dire se può essere che gli intervalli siano diversi.
22. Due intervalli ambedue chiusi hanno i medesimi estremi superiori ed inferiori. Dire se può essere che gli intervalli siano diversi.
23. ($\star$)  Sia $f\left(x\right)$ una funzione limitata. Mostrare che $1∕f\left(x\right)$ può non essere limitata.
24. ($\star$)  Mostrare che $1∕f\left(x\right)$ può essere limitata anche se $f\left(x\right)$ non è limitata.
25. ($\star$)  Dare una condizione su $f\left(x\right)$ che implichi che $1∕f\left(x\right)$ è limitata.
26. Dire se una funzione può avere più di un punto di minimo assoluto.
27. Dire se una funzione può avere estremi relativi ma non assoluti.
28. Dire se un punto può essere contemporaneamente di massimo relativo ed assoluto per una funzione.
29. Dire se una funzione monotona può avere massimi assoluti o relativi.
30. Dire se una funzione strettamente monotona può avere più di un punto di massimo, assoluto oppure relativo.
31. Sia $f\left(x\right)=x^n{sin}^2\left(1∕x\right)$ se $x\ne 0$, ed $f\left(0\right)=0$. Dire per quali valori di $n$ la funzione ha minimo in $x=0$
32. Sia $f\left(x\right)$ definita su $\left(0,2\right)$ ed ivi crescente. Dire se è possibile che la sua restrizione a $\left(0,1\right)$ sia illimitata inferiormente oppure superiormente.
33. Disegnare i grafici richiesti:
    • Sia $f\left(x\right)=x$. Disegnare i grafici delle funzioni $g\left(x\right)=f\left(f\left(x\right)\right)$ e $h\left(x\right)=f^2\left(x\right)$;
    • Sia $f\left(x\right)=x^2$. Disegnare i grafici delle funzioni $g\left(x\right)=f\left(f\left(x\right)\right)$ e $h\left(x\right)=f^2\left(x\right)$;
    • Sia $f\left(x\right)=1∕x$. Disegnare i grafici delle funzioni $g\left(x\right)=f\left(f\left(x\right)\right)$ e $h\left(x\right)=f^2\left(x\right)$.
34. In questo esercizio, $\left[x\right]$ ed $M\left(x\right)$ denotano le funzioni parte intera e mantissa.
    • Si disegni il grafico delle funzioni $f\left(x\right)=sin\left(\frac{\pi }{2}M\left(x\right)\right)$ e $g\left(x\right)=\left[x\right]+sin\left(\frac{\pi }{2}M\left(x\right)\right)$;
    • Disegnare il grafico di un esempio di funzione con questa proprietà: $f\left(x\right)$ è definita su $\left[0,1\right]$, crescente e tale che $f\left(1\right)=f\left(0\right)+1$. Disegnare quindi il grafico di $\left[x\right]+f\left(M\left(x\right)\right)$ (una espressione numerica per la funzione $f\left(x\right)$ non è richiesta. Ne basta il grafico);
    • provare che se $f\left(x\right)$ è definita su $\left[0,1\right]$, crescente e tale che $f\left(1\right)=f\left(0\right)+1$ allora $g\left(x\right)=\left[x\right]+f\left(M\left(x\right)\right)$ è crescente;
    • Disegnare il grafico di un esempio di funzione con questa proprietà: $f\left(x\right)$ è definita su $\left[0,1\right]$, crescente e tale che $f\left(1\right)=f\left(0\right)+2$. Disegnare quindi il grafico di $\left[x\right]+f\left(M\left(x\right)\right)$.
35. A partire dal grafico della funzione $arccosx$, si disegni il grafico della funzione inversa della funzione $g\left(x\right)=-cosx$ con $\text{ dom}g\left(x\right)=\left[0,\pi \right]$. Si faccia lo stesso per la funzione $h\left(x\right)=-sinx$ (definita su $\left(-\pi ,\pi \right)$), a partire dal grafico di $arcsinx$.
36. Spiegare perché l’affermazione seguente è falsa: la funzione inversa di una funzione pari è pari oppure dispari.
37. ($\star$)  Mostrare che la funzione inversa di una funzione dispari (ed invertibile) è dispari.
38. ($\star$)  Siano $f\left(x\right)$ e $g\left(x\right)$ due funzioni da $ℝ$ in sé, definite sul medesimo intervallo $\left[a,b\right]$. Supponiamo che siano strettamente crescenti e che su $\left[a,b\right]$ valga
    $$f\left(x\right)>g\left(x\right).$$

    Mostrare che le loro funzioni inverse verificano

    $$f^{-1}\left(x\right)<g^{-1}\left(x\right).$$

    Cambia qualcosa se le funzioni sono decrescenti?

39. ($\star$)  Sia $f\left(x\right)$ invertibile su un intervallo $\left[a,b\right]$. La funzione $g\left(x\right)=f\left(x+c\right)$ è definita su $\left[a-c,b-c\right]$. Mostrare che è invertibile e che la sua funzione inversa $g^{-1}\left(x\right)$ è $f^{-1}\left(y\right)-c$. Applicare quest’osservazione ai casi seguenti:
    • La funzione $f\left(x\right)=cosx$ (definita su $\left[0,\pi \right]$) e la funzione $g\left(x\right)=f\left(x+\pi \right)$;
    • La funzione $f\left(x\right)=-cosx$ (definita su $\left[0,\pi \right]$) e la funzione $h\left(x\right)=f\left(x+\pi ∕2\right)$.
40. Notando che $sin\left(x-\pi ∕2\right)=-cosx$, si trovi una relazione tra i grafici delle funzioni $arcsinx$ ed $arccosx$. Si disegnino quindi i grafici delle funzioni $arcsinx$, $arccosx$ e $-arccosx$.
41. Sia $f\left(x\right)$ definita su $ℝ$ ed invertibile, e sia

    $$g\left(x\right)=af\left(x\right)+b$$

    (1.7)

    con $a\ne 0$ e $b$ qualsiasi. Mostrare che $g\left(x\right)$ è invertibile e che

    $$g^{-1}\left(y\right)=f^{-1}\left(\left(y-b\right)∕a\right).$$

42. ($\star$)  Sia $f\left(x\right)$ una funzione definita per $x>0$. Si mostri che la sua estensione dispari per $x>0$ è $f\left(x\right)$ mentre per $x<0$ è
    $$\left(\text{ sgn}\left(x\right)\right)f\left(x\left(\text{ sgn}\left(x\right)\right)\right).$$

43. ($\star$)  Si trovino una funzione razionale $f\left(x\right)$ ed una funzione razionale $g\left(x\right)$ che verificano rispettivamente
    $$f\left(x\right)=f\left(\frac{1}{x}\right),g\left(x\right)=-g\left(-\frac{1}{x}\right)$$

    (due esempi si trovano all’esercizio 6 del Cap. 3).

44. ($\star$)  Una delle due uguaglianze seguenti è corretta e l’altra è sbagliata:
    $${\left(\sqrt{x}\right)}^2=x,\sqrt{x^2}=x.$$

45. ($\star$)  Una delle due uguaglianze seguenti è corretta, mentre l’altra è sbagliate:
    $$tan\left(arctanx\right)=x,arctan\left(tanx\right)=x.$$

    Spiegare e fare esempi analoghi con le funzioni $arcsinx$ ed $arccosx$.

46. il calcolo seguente è sbagliato. Si considera la funzione $f\left(x\right)={\left(-x\right)}^2$, definita per $x\ge 0$ e se ne vuol calcolare la funzione inversa. Dunque si deve risolvere ${\left(-x\right)}^2=y$ con $y\in \text{ im}f\left(x\right)$, ossia $y\ge 0$. Dunque si ha $-x=\sqrt{y}$ e quindi $x=-\sqrt{y}$. Il risultato è sbagliato, come si vede facilmente ottenendo il grafico della funzione inversa come simmetrico di quello di $f\left(x\right)$ rispetto alla prima bisettrice.
    • trovare l’errore (si esamini il segno di $x$).
    • la funzione $g\left(x\right)=-\sqrt{y}$ è comunque una funzione inversa. Dire di quale funzione.
47. ($\star$)  Tracciare qualitativamente il grafico della funzione
    $$f\left(x\right)=|x{|}^{g\left(x\right)},-1<x<1$$

    con

    $$g\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(1+3\left[x\right]\right)\left(2+\left[x\right]\right)$$

    (la parentesi quadra indica la parte intera).

Capitolo 2
I limiti

Il moto vien definito dai Gassendisti^a una continua e non interrotta mutazione del luogo. Giacomo Leopardi, Dissertazione sopra il moto. Nel periodo in cui Giacomo Leopardi scriveva le sue riflessioni sui principi della fisica (intorno al 1810) il concetto di “continua e non interrotta mutazione” non è ancora chiaro. Verrà chiarito una quindicina di anni dopo da Augustin-Louis Cauchy ed è l’oggetto di questo capitolo.

In questo capitolo si studia il comportamento delle funzioni al variare della variabile $x$, per $x$ che prende valori via via più grandi (diremo per $x$ “tendente a $+\infty$”) o negativi, via via più piccoli, (e diremo per $x$ “tendente a $-\infty$”), oppure per $x$ che approssima un numero $x_0$ (e diremo per $x$ “tendente ad $x_0$”). Non è necessario che $x_0$ appartenga al dominio della funzione; anzi, se gli appartiene, non studiamo la funzione $f\left(x\right)$ ma la restrizione di $f\left(x\right)$ ad $ℝ-\left\{x_0\right\}$. Ossia, l’eventuale valore che $f\left(x\right)$ prende in $x_0$ non deve intervenire. Per dire $x$ “tendente a $+\infty$” useremo la notazione $x\to +\infty$; significato analogo hanno le notazioni $x\to -\infty$ oppure $x\to x_0$. Ricordiamo il significato del termine intorno, visto al paragrafo 1.5. Se $x_0\in ℝ$, si chiama intorno di $x_0$ un qualsiasi intervallo aperto $\left(a,b\right)$ contenente $x_0$. Dato che l’intervallo è aperto, il punto $x_0$ è interno all’intorno: l’intorno di $x_0$ interseca sia $\left(-\infty ,x_0\right)$ che $\left(x_0,\infty \right)$ e le intersezioni sono due intervalli. Un intorno di $x_0$ si dice intorno simmetrico di $x_0$ se ha forma $\left(x_0-r,x_0+r\right)$ con $r>0$. Si chiama intorno di $+\infty$ un sottoinsieme $\left(a,+\infty \right)$ di $ℝ$ mentre si chiama intorno di $-\infty$ un sottoinsieme $\left(-\infty ,a\right)$ di $ℝ$. Le proprietà cruciali degli intorni sono le seguenti:

• l’intersezione di due intorni di $x_0$ è ancora un intorno di $x_0$; l’intersezione di due intorni di $+\infty$, oppure di $-\infty$, è ancora un intorno di $+\infty$, oppure di $-\infty$.
• se $x_1\ne x_2$ esistono intorni $I\left(x_1\right)$ ed $I\left(x_2\right)$ (rispettivamente di $x_1$ ed $x_2$) che non si intersecano. Per esempio, hanno questa proprietà i due intorni simmetrici $\left(x_1-\left(𝜖∕2\right),x_1+\left(𝜖∕2\right)\right)$ ed $\left(x_2-\left(𝜖∕2\right),x_2+\left(𝜖∕2\right)\right)$ se $𝜖<|x_2-x_1|$. Analoga proprietà vale se si considerano anche intorni di $\pm \infty$.

Richiederemo:

• il dominio di $f\left(x\right)$ deve essere illimitato superiormente se vogliamo studiare il caso $x\to +\infty$; il dominio di $f\left(x\right)$ deve essere illimitato inferiormente se vogliamo studiare il caso $x\to -\infty$;
• il dominio di $f\left(x\right)$ deve intersecare ogni intorno di $x_0$ in punti diversi da $x_0$ se vogliamo studiare il caso $x\to x_0$.

Queste condizioni saranno sempre sottintese e non più ripetute. Inoltre è inteso che quando scriveremo $f\left(x\right)$ dovrà essere $x\in \text{ dom}f$. Anche questa condizione verrà spesso sottintesa. Studieremo esplicitamente il caso $x\to +\infty$ lasciando come esercizio di adattare ciò che diremo al caso $x\to -\infty$. Vanno considerati due casi distinti.

2.0.1 I limiti infiniti

La definizione è la seguente:

Definizione 16

$$\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=+\infty$$

quando accade che per ogni $𝜖$ esiste $N$ tale che se $x>N$ si ha $f\left(x\right)>𝜖$. In simboli

si ha $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=+\infty$ se

$$\forall 𝜖\exists N|x\in \left(\text{ dom}f\right)\cap \left(N,+\infty \right)\Rightarrow f\left(x\right)>𝜖.$$

In questa definizione il numero $N$ dipende dal particolare $𝜖$ scelto e usa indicare tale dipendenza scrivendo $N_{𝜖}$ invece che semplicemente $N$. Come notazione, quando è sottinteso che si lavora per $x\to +\infty$, per dire che vale $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=+\infty$, si scrive brevemente $f\left(x\right)\to +\infty$ e si dice che $f\left(x\right)$ tende a $+\infty$ o anche che diverge a $+\infty$. Per dire che una funzione tende a $+\infty$ si dice anche che la funzione è un infinito positivo Per dire che una funzione tende a $-\infty$ si dice anche che la funzione è un infinito negativo E’ immediato dalla definizione:

Teorema 17 (di permanenza del segno per gli infiniti) Sia

$$\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=+\infty .$$

Sia inoltre $a>0$. Esiste una semiretta $\left(N,+\infty \right)$ su cui $f\left(x\right)>a$.

Come si è detto, il numero $x$ deve appartenere al dominio della funzione e niente vieta che la funzione sia una successione. In questo caso la definizione precedente si trascrive come segue:

si ha $\underset{n\to +\infty }{lim}{x}_n=+\infty$ se

$$\forall 𝜖\exists N|n>N\Rightarrow x_n>𝜖.$$

Nel caso delle successioni i limiti per $n\to -\infty$ e per $n\to x_0$ (questi verranno introdotti più avanti) non possono studiarsi e quindi nel caso delle successioni si può anche scrivere $lim{x}_n$ invece di $\underset{n\to +\infty }{lim}{x}_n$. Lasceremo come esercizio di adattare ciò che andiamo a dire al caso delle successioni. Ricapitolando, la verifica della proprietà

$$\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=+\infty$$

(2.1)

si riduce a questo: si considerano tutte le disequazioni

$$f\left(x\right)>𝜖,$$

(2.2)

una disequazione per ogni valore di $𝜖$. La (2.1) è verificata quando ciascuna di queste disequazioni è soddisfatta per tutti i punti del dominio della funzione che appartengono ad un opportuno intorno di $+\infty$ (ossia, ad una opportuna semiretta illimitata superiormente). Naturalmente, se (2.2) è verificata per un certo ${𝜖}_0$, essa è automaticamente soddisfatta per ogni $𝜖<{𝜖}_0$ e quindi ci si può limitare a studiare le disequazioni con $𝜖>0$ (o $𝜖>5$ oppure di qualsiasi altro numero fissato). Osserviamo le seguenti proprietà:

Teorema 18 Sia $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=+\infty$. Allora l’immagine della funzione non è superiormente limitata.

Dim. Infatti, se $f\left(x\right)<M$ per ogni $x$, la (2.2) non ha soluzioni quando $𝜖>M$.  $■$

Lemma 19 Sia $K\in ℝ$ e sia

$$g\left(x\right)=f_{{|}_{\left[k,+\infty \right)}}\left(x\right),$$

la restrizione di $f\left(x\right)$ a $\left[K,+\infty \right)$. La (2.1) vale se e solo se

$$\underset{x\to +\infty }{lim}g\left(x\right)=+\infty .$$

Dim. La condizione per avere $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=+\infty$ è che per ogni $𝜖$ la (2.2) sia soddifatta per $x>N$ ($x$ nel dominio di $f$). L’analogo di (2.2) per $g\left(x\right)$ è che

$$\text{se }x>K\text{ allora }g\left(x\right)>𝜖\text{ ossia}f\left(x\right)>𝜖.$$

(2.3)

Quindi le due condizioni (2.2) e (2.3) si equivalgono.  $■$

Conseguenza: per lo studio dei limiti per $x\to +\infty$ possiamo limitarci a considerare la restrizione delle funzioni ad una semiretta verso destra. E’ per questo che le proprietà di limite si chiamano “proprietà locali”.

Teorema 20 (Teorema del confronto per gli infiniti) Valga:

a) le funzioni $f\left(x\right)$ e $g\left(x\right)$ hanno il medesimo dominio;

b) $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=+\infty$;

c) $g\left(x\right)\ge f\left(x\right)$ .

Allora, $\underset{x\to +\infty }{lim}g\left(x\right)=+\infty$.

Dim. Le disequazioni da studiare per provare la tesi sono

$$g\left(x\right)>𝜖$$

(2.4)

Essendo

$$g\left(x\right)>f\left(x\right),$$

la (2.4) è certamente soddisfatta quando vale

$$f\left(x\right)>𝜖.$$

L’ipotesi fatta su $f\left(x\right)$ mostra che questa disequazione, e quindi la (2.4), vale su un’opportuna semiretta $\left(N_{𝜖},+\infty \right)$.  $■$

Osservazione 21 Va notato che la (2.4) potrebbe essere soddisfatta anche su un insieme più grande di $\left(N_{𝜖},+\infty \right)$, ma a noi ciò non interessa. A noi basta trovare una semiretta (verso destra) su cui vale (2.4). Non è richiesto di individuare l’insieme di tutte le sue soluzioni.  $■$

Lemma 22 Per ogni $M\in ℝ$ vale:

$$\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=+\infty \iff \underset{x\to +\infty }{lim}\left(f\left(x\right)+M\right)=+\infty .$$

Dim. Per provare che

$$\underset{x\to +\infty }{lim}\left(f\left(x\right)+M\right)=+\infty$$

vanno studiate le disequazioni

$$f\left(x\right)+M>𝜖\text{ ossia}f\left(x\right)>\sigma =𝜖-M.$$

Essendo $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=+\infty$, esiste un intorno di $+\infty$ su cui vale $f\left(x\right)>\sigma$.  $■$

Combinando questo lemma col Teorema 20 si ha:

Teorema 23 Se $f\left(x\right)$ e $g\left(x\right)$ hanno il medesimo dominio e inoltre valgono ambedue le condizioni

• $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=+\infty$;
• $g\left(x\right)$ è inferiormente limitata su una semiretta $\left[a,+\infty \right)$

allora si ha

$$\underset{x\to +\infty }{lim}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]=+\infty .$$

Dim. Infatti, su $\left[a,+\infty \right)$ si ha $g\left(x\right)>M$, per un opportuno valore di $M$; e quindi

$$f\left(x\right)+g\left(x\right)>f\left(x\right)+M\to +\infty .■$$

Combinando questo teorema con quello di permanenza del segno si ha anche:

Corollario 24 Se, per $x\to +\infty$, ambedue le funzioni $f\left(x\right)$ e $g\left(x\right)$ divergono a $+\infty$, anche la funzione $f\left(x\right)+g\left(x\right)$ diverge a $+\infty$.

Conseguenza del Corollario 24: se calcolando formalmente si trova un’espressione

$$\underset{x\to +\infty }{lim}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]=+\infty +\infty$$

allora vale

$$\underset{x\to +\infty }{lim}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]=+\infty .$$

Ossia, come regola mnemonica, si può scrivere

$$+\infty +\infty =+\infty .$$

Esempio 25 E’ immediato verificare che

$$a>0\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{lim}ax=+\infty ;a<0\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{lim}ax=-\infty .$$

Dunque, dal teorema del confronto, se $a>0$ oppure se $a<0$ si ha rispettivamente

$$\underset{x\to +\infty }{lim}\left(ax+sinx\right)=+\infty \text{ oppure}\underset{x\to +\infty }{lim}\left(ax+sinx\right)=-\infty .$$

Si noti che che la funzione $f\left(x\right)=sinx$, che è limitata, non diverge né a $+\infty$ né a $-\infty$. Infatti, la disequazione $|sinx|>𝜖=2$ non ha soluzione.  $■$

L’osservazione seguente è importantissima. Essa richiede di sapere che

$$\underset{x\to +\infty }{lim}\sqrt{x}=+\infty .$$

Si lascia per esercizio la verifica di questo limite.

Osservazione 26 Consideriamo le due funzioni divergenti a $+\infty$, $f\left(x\right)=x$ e $g\left(x\right)=x$. La funzione $f\left(x\right)+g\left(x\right)$ diverge a $+\infty$, mentre la funzione $f\left(x\right)+\left(-g\left(x\right)\right)$ non è un infinito. Quindi la condizione di limitatezza inferiore nel Teorema 23 non si può eliminare. Consideriamo ora $f\left(x\right)=x$ e $g\left(x\right)=-\sqrt{x}$. Essendo

$$f\left(x\right)+g\left(x\right)=x-\sqrt{x}=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\ge \frac{1}{2}\sqrt{x}$$

(l’ultima disuguaglianza vale per esempio se $x>10$) per il teorema del confronto si ha

$$\underset{x\to +\infty }{lim}\left[x-\sqrt{x}\right]=+\infty .$$

Invece

$$\underset{x\to +\infty }{lim}\left[\sqrt{x}-x\right]=-\infty .$$

Dunque, se si trova un’espressione del tipo

$$\underset{x\to +\infty }{lim}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]=+\infty +\left(-\infty \right),$$

che scriveremo semplicemente come

$$+\infty -\infty ,$$

niente può dirsi del comportamento della somma $f\left(x\right)+g\left(x\right)$: non si può attribuire un significato all’espressione formale

$$+\infty -\infty .$$

E’ questo il primo esempio in cui i teoremi sui limiti non permettono di dedurre niente sul comportamento di una funzione, il cui limite va studiato con metodi particolari. Per questo quando si incontra l’espressione $+\infty -\infty$ si dice che si incontra una forma indeterminata Consideriamo ora il quoziente delle funzioni $f\left(x\right)$ e $\left|g\left(x\right)\right|$. E’:

$$\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{f\left(x\right)}{\left|g\left(x\right)\right|}=\underset{x\to +\infty }{lim}\sqrt{x}=+\infty$$

mentre invece $g\left(x\right)∕f\left(x\right)=1∕\sqrt{x}$, essendo limitata su $\left[1,+\infty \right)$, non è un infinito. Dunque, anche se si incontra formalmente l’espressione

$$\frac{\infty }{\infty }$$

niente può dirsi in generale del limite del quoziente delle funzioni e il limite va studiato con tecniche particolari. Quindi, $\infty ∕\infty$ è un secondo esempio di forma indeterminata. Altri esempi vedremo in seguito.   $■$

Passiamo ora ad esaminare le relazioni tra le funzioni divergenti a $+\infty$ oppure $-\infty$ e l’operazione di prodotto. chiaramente, la funzione $0\cdot f\left(x\right)$ non è un infinito, mentre:

Lemma 27 Se $f\left(x\right)$ è un infinito positivo ed $a>0$ allora $af\left(x\right)$ è un infinito positivo; se $f\left(x\right)$ è un infinito positivo ed $a<0$ allora $af\left(x\right)$ è un infinito negativo.

Combinando quest’affermazione col teorema di permanenza del segno e col teorema di confronto si ha:

Teorema 28 Sia $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=+\infty$. Vale:

• se $g\left(x\right)>M>0$ allora $\underset{x\to +\infty }{lim}g\left(x\right)f\left(x\right)=+\infty$;
• se $g\left(x\right)<M<0$ allora $\underset{x\to +\infty }{lim}g\left(x\right)f\left(x\right)=-\infty$.

In particolare:

Corollario 29 Se $f\left(x\right)$ e $g\left(x\right)$ sono due infiniti (per $x\to +\infty$) anche $f\left(x\right)g\left(x\right)$ lo è; precisamente, è un infinito positivo se $f\left(x\right)$ e $g\left(x\right)$ divergono ambedue a $+\infty$ oppure a $-\infty$. Altrimenti è un infinito negativo.

Le condizioni $g\left(x\right)>M>0$ oppure $g\left(x\right)<M<0$ non possono sostituirsi con le condizioni $g\left(x\right)>0$ oppure $g\left(x\right)<0$. Infatti, $f\left(x\right)=x$ è un infinito positivo e $g\left(x\right)=1∕x$ è positiva per ogni valore di $x$; ma $f\left(x\right)g\left(x\right)\equiv 1$ non è un infinito. Invece,

$$\underset{x\to +\infty }{lim}x\frac{1}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}=+\infty .$$

Ossia,

la sola condizione $\left|g\left(x\right)\right|>0$, invece di $\left|g\left(x\right)\right|>M>0$, non permette di dire niente del prodotto $f\left(x\right)g\left(x\right)$, quando $f\left(x\right)$ è un infinito.

La tabella 2.1 ricapitolale regole e le forme indeterminate che abbiamo trovato:

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Table 2.1: “Regole” di calcolo, a sinistra, forme indeterminate a destra

$$\begin{array}{|cc|}\hline regole& forme\; indeterminate\\ +\infty +\infty =+\infty & +\infty -\infty \\ -\infty -\infty =-\infty & \frac{\pm \infty }{\pm \infty }\\ \hline\end{array}$$

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2.0.2 I limiti finiti

La definizione è:

Definizione 30

$$\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=l\in ℝ,$$

(2.5)

e si dice che $f\left(x\right)$ tende ad $l$ per $x$ tendente a $+\infty$, quando accade che per ogni $𝜖>0$ esiste $N$ con questa proprietà: ogni $x$ (appartenente al dominio di $f\left(x\right)$) e tale che $x>N$ verifica $|f\left(x\right)-l|<𝜖$. In simboli:

$$\forall 𝜖>0\exists N|x\in \left(\text{ dom}f\right)\cap \left\{x|x>N\right\}\Rightarrow |f\left(x\right)-l|<𝜖.$$

Il numero $N$ dipende da $𝜖$ e per sottolineare ciò si scrive anche $N=N_{𝜖}$. Ripetiamo che questa definizione può darsi solo se il dominio della funzione è superiormente illimitato e naturalmente, niente vieta che la funzione che si considera sia una successione. Inoltre, la definizione si adatta facilmente per definire

$$\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)=l.$$

La definizione è

$$\forall 𝜖>0\exists N|x\in \left(\text{ dom}f\right)\cap \left\{x|x<N\right\}\Rightarrow |f\left(x\right)-l|<𝜖.$$

Si esprima questa definizione a parole.

Esempio 31 Sia $f\left(x\right)$ costante, $f\left(x\right)\equiv l$. Si provi che

$$\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)=l,\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=l.■$$

Le funzioni che ammettono limite uguale a $0$ sono particolarmente importanti nelle applicazioni, ed hanno un nome particolare:

Definizione 32 Una funzione $f\left(x\right)$ tale che

$$\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=0$$

si dice un infinitesimo (per $x\to +\infty$).  $■$

OSSERVAZIONE IMPORTANTE

Molto spesso e solo in apparenza, nelle applicazioni fisiche sembra che il termine “infinitesimo” sia usato come sinonimo di “quantità piccola”. Per esempio, si sente dire una frase del tipo “prendiamo un quadrato di area infinitesima. Allora la pressione è…” Il significato da attribuire a questa frase è il seguente: facendo misure concrete, si trova che il valore della pressione è diverso da quello proposto, ma “non troppo” e che l’approssimazione è “via via migliore al tendere dell’area a zero”; ossia, la pressione dipende dalla variabile “area del quadrato” ed è diffcile da calcolare. Il valore proposto si ottiene come limite quando la variabile “area del quadrato” tende a zero.

Per verificare se vale (2.5) vanno studiate le infinite disequazioni

$$|f\left(x\right)-l|<𝜖,$$

una disequazione per ciascun valore di $𝜖$, e va provato che ciascuna di esse vale in tutti i punti del dominio di $f\left(x\right)$ che appartengono anche ad un intorno di $+\infty$, ossia ad un’opportuna semiretta $\left(N,+\infty \right)$. Queste disequazioni coincidono con quelle da studiare se vogliamo provare che

$$\underset{x\to +\infty }{lim}g\left(x\right)=0\text{ ove}g\left(x\right)=f\left(x\right)-l.$$

Dunque:

Teorema 33 Vale

$$\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=l$$

se e solo se

$$\underset{x\to +\infty }{lim}\left(f\left(x\right)-l\right)=0;$$

ossia se e solo se $\left(f\left(x\right)-l\right)$ è un infinitesimo. In particolare, $f\left(x\right)$ è un infinitesimo (per $x\to +\infty$) se e solo se $\left|f\left(x\right)\right|$ lo è.

Studiamo ora i risultati principali concernenti i limiti finiti, quando la variabile $x$ tende a $+\infty$. I risultati analoghi per $x\to -\infty$ si lasciano per esercizio. Prima di tutto mostriamo la proprietà seguente, da contrastare con quella enunciata nel Teorema 18:

Teorema 34 (della limitatezza locale) Se

$$\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=l\in ℝ$$

allora esistono numeri $M$ ed $N$ tali che se $x>N$ allora $\left|f\left(x\right)\right|<M$; ossia, $f\left(x\right)$ è limitata sulla semiretta $\left[N,+\infty \right)$.

Dim. Si scelga $𝜖=1$ (per esempio) nella definizione di limite e sia $N$ il numero tale che se $x>N$ valga

$$|f\left(x\right)-l|<1.$$

Per $x>N$ si ha:

$$\left|f\left(x\right)\right|=|f\left(x\right)-l+l|\le |f\left(x\right)-l|+\left|l\right|<1+\left|l\right|$$

ossia, il risultato vale con $M=1+l$.  $■$

Una funzione può essere o meno dotata di limite, finito o infinito. Però, se il limite esiste esso è unico:

Teorema 35 (unicità del limite) Se

$$\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=l,\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=m.$$

Allora, $l=m$.

Dim. Non si può avere $l\in ℝ$ ed $m=+\infty$ perché se $m=+\infty$ la funzione è illimitata su ogni semiretta $\left(N,+\infty \right)$, mentre se $l\in ℝ$ deve esistere una di tali semirette su cui $f\left(x\right)$ è limitata. Consideriamo il caso in cui $l$ ed $m$ sono ambedue numeri. Se per assurdo fosse $l\ne m$ potremmo scegliere due intorni $I\left(l\right)$ ed $I\left(m\right)$ (rispettivamente di $l$ e di $m$) privi di punti comuni. Notiamo che:

• essendo $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=l$, esiste un intorno $V\left(+\infty \right)$ tale che
  $$x\in V\left(+\infty \right)\cap \left(\text{ dom}f\left(x\right)\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in I\left(l\right);$$

• essendo $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=m$, esiste un intorno $W\left(+\infty \right)$ tale che
  $$x\in W\left(+\infty \right)\cap \left(\text{ dom}f\left(x\right)\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in I\left(m\right).$$

Abbiamo notato che $V\left(+\infty \right)\cap W\left(+\infty \right)$ è un intorno di $+\infty$ e quindi contiene almeno un punto $x_0\in \text{ dom}f\left(x\right)$. Tale punto deve verificare $f\left(x_0\right)=I\left(l\right)\cap I\left(m\right)$ e ciò contrasta con la condizione $I\left(l\right)\cap I\left(m\right)=\varnothing$. Dunque deve essere $l=m$.  $■$

Osservazione 36 Si noti che in questa dimostrazione abbiamo usato ambedue le proprietà cruciali degli intorni.  $■$

Proviamo

Teorema 37 (di confronto) Siano $f\left(x\right)$, $g\left(x\right)$ ed $h\left(x\right)$ definite sul medesimo insieme e sia

• $f\left(x\right)\le h\left(x\right)\le g\left(x\right)$,
• $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{lim}g\left(x\right)=m$.

Allora si ha anche

$$\underset{x\to +\infty }{lim}h\left(x\right)=m.$$

Dim. Sottraendo $m$ ai tre membri della disuguaglianza si ha

$$f\left(x\right)-m\le h\left(x\right)-m\le g\left(x\right)-m.$$

L’ipotesi è che esistano due numeri $r_1$ ed $r_2$ tali che

$$\begin{array}{ccc}\hfill & \hfill & \hfill x>r_1\Rightarrow |f\left(x\right)-m|<𝜖\text{ ossia}m-𝜖<f\left(x\right)<m+𝜖\\ \hfill & \hfill & \hfill x>r_2\Rightarrow |g\left(x\right)-m|<𝜖\text{ ossia}m-𝜖<g\left(x\right)<m+𝜖.\end{array}$$

Dunque, ambedue le disequazioni valgono per $x>R$ con $R$ il maggiore dei numeri $r_1$ ed $r_2$. Per $x>R$ si ha quindi anche

$$-𝜖<f\left(x\right)-m\le h\left(x\right)-m\le g\left(x\right)-m<𝜖$$

e quindi l’asserto.  $■$

Proviamo ora:

Teorema 38 Le due funzioni $f\left(x\right)$ e $g\left(x\right)$ abbiano il medesimo dominio e valga

$$\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=l\in ℝ,\underset{x\to +\infty }{lim}g\left(x\right)=m\in ℝ.$$

Allora vale:

• $\underset{x\to +\infty }{lim}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=l+m$;
• $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)g\left(x\right)=lm$.

Dim. Si sa che $f\left(x\right)-l$ e $g\left(x\right)-m$ sono infinitesimi (per $x\to +\infty$) e quindi, per ogni $𝜖>0$ esitono due numeri $r_1$ ed $r_2$ tali che:

$$x>r_1\Rightarrow |f\left(x\right)-l|<𝜖∕2,x>r_2\Rightarrow |g\left(x\right)-m|<𝜖∕2.$$

Dunque, ambedue le disequazioni valgono per $x>R$ con $R$ il maggiore dei numeri $r_1$ ed $r_2$. La prima affermazione del teorema segue perché per $x>R$ si ha

$$\begin{array}{ccc}\hfill & \hfill & \hfill 0\le \left|\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)-\left(l+m\right)\right|=\left|\left(f\left(x\right)-l\right)+\left(g\left(x\right)-m\right)\right|\\ \hfill & \hfill & \hfill \le \left|f\left(x\right)-l\right|+\left|g\left(x\right)-m\right|<𝜖.\end{array}$$

La seconda affermazione si ottiene come segue:

$$\begin{array}{ccc}\hfill & \hfill & \hfill \left|f\left(x\right)g\left(x\right)-lm\right|=\left|f\left(x\right)g\left(x\right)-\left(f\left(x\right)m-f\left(x\right)m\right)-lm\right|\\ \hfill & \hfill & \hfill \le \left|f\left(x\right)\right|\left|g\left(x\right)-m\right|+\left|m\right|\left|f\left(x\right)-l\right|.\end{array}$$

IIl teorema della limitatezza locale afferma che $f\left(x\right)$ è limitata su un’opportuna retta $\left(a,+\infty \right)$:

$$x>a\Rightarrow \left|f\left(x\right)\right|<M.$$

Dunque, se $x$ è più grande sia di $a$ che di $R$ vale

$$\left|f\left(x\right)g\left(x\right)-lm\right|<\frac{M+\left|m\right|}{2}𝜖.$$

Questo è un numero tanto arbitrario quanto $𝜖$ e ciò prova l’asserto.  $■$

Le relazioni con le operazioni di quoziente sono più complicate. Per studiarle, dobbiamo premettere un risultato importante:

Teorema 39 (della permanenza del segno) Sia $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=l>0$ (disuguaglianza stretta). Esiste $\beta >0$ (disuguaglianza stretta) ed esiste una semiretta $\left(r,+\infty \right)$ su cui vale la disuguaglianza

$$f\left(x\right)>\beta >0.$$

Sia invece $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=l<0$ (disuguaglianza stretta). Esiste $\beta <0$ (disuguaglianza stretta) ed esiste una semiretta $\left(r,+\infty \right)$ su cui vale la disuguaglianza

$$f\left(x\right)<\beta <0.$$

Dim. Consideriamo il caso $l>0$. Si scelga nella definizione di limite come valore di $𝜖$ il numero $l∕2$. Allora, esiste una semiretta $\left(R,+\infty \right)$ su cui vale

$$|f\left(x\right)-l|<𝜖=\frac{l}{2}\text{ ossia}-\frac{l}{2}<f\left(x\right)-l<\frac{l}{2}.$$

Sommando $l$ ai tre membri si trova

$$\frac{l}{2}<f\left(x\right)<\frac{3}{2}l.$$

La disuguaglianza richiesta è quella di sinistra.  $■$

Osservazione 40 Si noti che la disuguaglianza di destra dà nuovamente la dimostrazione del Teorema di limitatezza locale.  $■$

Possiamo ora enunciare:

Teorema 41 Si ha:

1. se $\underset{x\to +\infty }{lim}\left|f\left(x\right)\right|=+\infty$ allora $\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{1}{f\left(x\right)}=0$;
2. se $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=0$ e se $f\left(x\right)$ non è identicamente nulla su nessuna semiretta $\left(R,+\infty \right)$, allora $\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{1}{\left|f\left(x\right)\right|}=+\infty$;
3. se $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=l\in ℝ$, $l\ne 0$ allora $\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{1}{f\left(x\right)}=\frac{1}{l}$;
4. se $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=l\in ℝ$, $l\ne 0$ e se $\underset{x\to +\infty }{lim}g\left(x\right)=m$ allora $\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{g\left(x\right)}{f\left(x\right)}=\frac{m}{l}$.

Dim. Proviamo la proprietà 3, lasciando le altre per esercizio. Per ipotesi, per ogni $𝜖>0$ esiste una semiretta $\left(r,+\infty \right)$ su cui vale

$$|f\left(x\right)-l|<𝜖.$$

Su questa semiretta vale (il numero $\beta \ne 0$ è quello del teorema di permanenza del segno)

$$\left|\frac{1}{f\left(x\right)}-\frac{1}{l}\right|=\frac{|l-f\left(x\right)|}{\left|lf\left(x\right)\right|}<\frac{|l-f\left(x\right)|}{\left|l\beta \right|}<\frac{𝜖}{l\beta }.$$

L’asserto segue perché $𝜖∕\left(l\beta \right)$, al variare di $𝜖>0$, è un arbitrario numero positivo.  $■$

Infine, mostriamo che la regola sul limite del prodotto può rendersi più precisa quando una delle due funzioni è un infinitesimo.

Teorema 42 Le due funzioni $f\left(x\right)$ e $g\left(x\right)$ abbiano lo stesso dominio. Se

$$\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=0$$

e $g\left(x\right)$ è limitata su una semiretta $\left(r,+\infty \right)$ allora vale anche

$$\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)g\left(x\right)=0.$$

Dim. La condizione su $g\left(x\right)$ mostra che per un opportuno numero $M$ e per $x>r$ si ha $\left|g\left(x\right)\right|<M$. Dunque, per $x>r$ vale

$$0\le \left|f\left(x\right)g\left(x\right)\right|<M\left|f\left(x\right)\right|$$

Sia $𝜖>0$. Vale $M\left|f\left(x\right)\right|<𝜖$ se $\left|f\left(x\right)\right|<𝜖∕M$ e ciò avviene su una semiretta $\left(L,+\infty \right)$, perché $f\left(x\right)\to 0$ per $x\to +\infty$. Allora, se $x>L$ ed anche $x>r$ si ha

$$0\le \left|f\left(x\right)g\left(x\right)\right|<M\left|f\left(x\right)\right|<𝜖;$$

Ossia, la funzione $f\left(x\right)g\left(x\right)$ tende a zero per $x\to +\infty$.  $■$

Si noti che questo teorema non richiede che $g\left(x\right)$ abbia limite finito, ma, grazie al teorema della limitatezza locale, vieta che abbia limite $+\infty$ oppure $-\infty$.

Relazioni tra limiti finiti e infiniti Combinando i risultati dei Teoremi 38 e 41 si trova in particolare: se $\left|f\left(x\right)\right|\to +\infty$ e $g\left(x\right)\to 0$ allora:

$$\left|\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right|\to +\infty ,\frac{g\left(x\right)}{f\left(x\right)}\to 0.$$

Invece, niente può dirsi in generale del prodotto di un infinito e di un infinitesimo e del quoziente di due infinitesimi, come si vede esaminando $f\left(x\right)g\left(x\right)$ con

$$f\left(x\right)=x\text{e }g\left(x\right)=1∕x\text{, oppure }=1∕x^2\text{, oppure }=1∕\sqrt{x}\text{.}$$

Si hanno quindi quattro ulteriori “regole di calcolo” e due ulteriori forme indeterminate, riassunte nella tabella 2.2.

---

Table 2.2: Ulteriori regole e forme indeterminate

$$\begin{array}{|cc|}\hline regole& forme\; indeterminate\\ \left|\frac{\pm \infty }{0}\right|=+\infty & 0\cdot \left(\pm \infty \right)\\ 0∕\left(\pm \infty \right)=0& 0∕0\\ \left\{\begin{array}{c}\hfill l+\left(+\infty \right)=l+\infty =+\infty \hfill \\ \hfill l+\left(-\infty \right)=l-\infty =-\infty \hfill \end{array}\right.& \\ l\left(+\infty \right)=\left\{\begin{array}{c}\hfill +\infty \text{se }l>0\hfill \\ \hfill -\infty \text{se }l<0\hfill \end{array}\right.& \\ \hline\end{array}$$

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2.1 I limiti per $x$ tendente ad $x_0$

Anche in questo caso, conviene dividere lo studio in due sottocasi, il caso degli infiniti ed il caso dei limiti finiti. Ricordiamo prima di tutto:

il fatto cruciale è che il concetto di limite vuol rappresentare il comportamento della funzione, quando $x$ “si avvicina” ad $x_0$. L’eventuale valore della funzione in $x_0$ non deve essere considerato.

2.1.1 I limiti infiniti

Una funzione si chiama un infinito positivo per $x\to x_0$ se accade quanto segue:

Definizione 43 Per ogni $𝜖$ esiste un numero $\delta >0$ con questa proprietà: per ogni $x$ (appartenente al dominio della funzione) tale che

$$x\ne x_0\text{e inoltre tale che}|x-x_0|<\delta$$

vale

$$f\left(x\right)>𝜖.$$

Ossia,

$$\forall 𝜖\exists \delta >0|x\ne x_0,x\in \text{ dom}f,|x-x_0|<\delta \Rightarrow f\left(x\right)>𝜖.$$

Quando ciò accade si dice anche che “la funzione tende a $+\infty$ per $x$ tendente a $x_0$” e si scrive

$$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=+\infty .$$

Il numero $\delta$ che compare in questa definizione dipende dalla scelta di $𝜖$. Per sottolineare ciò talvolta si scrive semplicemente ${\delta }_{𝜖}$ invece che semplicemente $\delta$. La definizione di infinito negativo (per $x\to x_0$) è analoga: si ha

$$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=-\infty$$

se per ogni $𝜖$ esiste un numero $\delta >0$ con questa proprietà: per ogni $x$ (appartenente al dominio della funzione) tale che

$$x\ne x_0\text{e inoltre tale che}|x-x_0|<\delta$$

vale

$$f\left(x\right)<𝜖.$$

La cosa importante da notare in queste definizioni è la seguente:

non si richiede che la funzione sia definita in $x_0$ e anzi se essa in $x_0$ è definita si impone esplicitamente di non considerare il valore di $f\left(x\right)$ nel punto $x_0$; ossia, in queste definizioni non si lavora con la funzione $f\left(x\right)$ ma con la restrizione di $f\left(x\right)$ a $\left(\text{ dom}f\left(x\right)\right)-\left\{x_0\right\}$. Ribadiamo però che è necessario, per poter dare questa definizione, che ogni intorno di $x_0$ contenga punti del dominio di $f\left(x\right)$ diversi da $x_0$ stesso.

Per definizione, un punto $x_0$ si dice punto di accumulazione per un insieme $A$ se ogni suo intorno contiene punti di $A$ diversi da $x_0$. Dunque, per verificare se una funzione è un infinito positivo si devono studiare le disequazioni

$$f\left(x\right)>𝜖,$$

una disequazione per ogni valore di $𝜖$, e verificare se ciascuna di esse risulta soddisfatta in un opportuno intorno di $x_0$, escluso al più il valore $x_0$. Non è richiesto né di determinare tutte le soluzioni della disequazione, né di determinare il più grande intorno di $x_0$ sul quale ogni singola disequazione è soddisfatte.

Come notazione, quando è sottinteso che si lavora per $x\to x_0$, per dire che vale $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=+\infty$, si scrive brevemente $f\left(x\right)\to +\infty$ e si dice che $f\left(x\right)$ diverge a $+\infty$.

La novità importante della definizione di infinito per $x\to x_0$ è l’aver escluso dalle nostre considerazioni il punto $x_0$, se esso appartiene al dominio della funzione. Un problema analogo non si incontrava lavorando per $x\to +\infty$ perché $+\infty$ non è un numero e quindi automaticamente non appartiene al dominio della funzione. A parte questa importante differenza, le due definizioni possono esprimersi in modo unificato. Per questo basta ricordare che con intorno di $+\infty$ si intende una semiretta $\left(r,+\infty \right)$ e intorno di $-\infty$ è una semiretta $\left(-\infty ,r\right)$. Avremo quindi, con $\alpha$ che può essere $x_0$ oppure $-\infty$ oppure $+\infty$,

$$\underset{x\to \alpha }{lim}f\left(x\right)=+\infty$$

se per ogni $𝜖$ esiste un intorno di $\alpha$ tale che

$$x\in I\cap \left(\text{ dom}f\right)-\left\{\alpha \right\}\Rightarrow f\left(x\right)>𝜖.$$

Ovviamente, $\left(\text{ dom }f\right)-\left\{\alpha \right\}=\text{ dom}f$ se $\alpha \notin \text{ dom}f$; in particolare se $\alpha$ indica il simbolo $+\infty$ oppure $-\infty$. Notato ciò è facile verificare che tutti i risultati che abbiamo provato al paragrafo 2.0.1 valgono anche per $x\to x_0$, e con la medesima dimostrazione, purché non si faccia intervenire il valore di $f\left(x\right)$ nel punto $x_0$. Per esempio si ha il seguente risultato, da confrontare col Teorema 17:

Teorema 44 (di permanenza del segno per gli infiniti) Sia

$$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=+\infty .$$

Sia inoltre $a>0$. Esiste $\delta >0$ tale che se $|x-x_0|<\delta$ e inoltre $x\ne x_0$ si ha $f\left(x\right)>a$.

Dim. Si scelga come numero $𝜖$ nella definizione di infinito positivo il numero $a$.  $■$

Osservazione 45 Dobbiamo sottolineare nuovamente che il teorema precedente non dà informazioni sul valore della funzione in $x_0$, se essa è ivi definita. Per esempio, la funzione

$$f\left(x\right)=\frac{1}{\left\{\left|\text{sgn}\left(x\right)\right|+\left|x\right|\right\}-1}$$

verifica

$$f\left(0\right)=-1,\underset{x\to 0}{lim}f\left(x\right)=+\infty .■$$

---

figure 2.1: grafico di $f\left(x\right)=1∕\left\{\left(\left|\text{sgn}\left(x\right)\right|+\left|x\right|\right)-1\right\}$

---

Vale anche il risultato seguente, da confrontare col Teorema 18:

Teorema 46 Se $\underset{x\to x_0}{lim}\left|f\left(x\right)\right|=+\infty$ la funzione $f\left(x\right)$ è illimitata in ogni intorno di $x_0$ .

Si noti che in quest’enunciato non importa escludere il punto $x_0$ perché la proprietà che una funzione sia o meno limitata non dipende dal valore che essa assume in un solo punto. Il teorema di confronto e le sue conseguenze si riformulano come segue:

Teorema 47 (del confronto per gli infiniti) Se:

a) $\left(\text{ dom}f\right)-\left\{x_0\right\}=\left(\text{ dom}g\right)-\left\{x_0\right\}$

b) $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=+\infty$;

c) per $x\ne x_0$ si ha $g\left(x\right)\ge f\left(x\right)$ .

Allora, $\underset{x\to +x_0}{lim}g\left(x\right)=+\infty$.

Dim. Le disequazioni da studiare per provare la tesi sono

$$g\left(x\right)>𝜖,$$

(2.6)

una disequazione per ogni valore di $𝜖$. Essendo

$$g\left(x\right)\ge f\left(x\right),$$

la (2.6) è certamente soddisfatta quando $x\ne x_0$ e

$$f\left(x\right)>𝜖.$$

L’ipotesi fatta su $f\left(x\right)$ mostra che questa disequazione vale su in un opportuno intorno di $x_0$, escluso al più il punto $x_0$.  $■$

Inoltre:

Lemma 48 Per ogni $M\in ℝ$ vale:

$$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=+\infty \Rightarrow \underset{x\to x_0}{lim}\left(f\left(x\right)+M\right)=+\infty .$$

Combinando questo Lemma col Teorema 47 si ha:

Teorema 49 Se, a parte eventualmente il punto $x_0$, le due funzioni $f\left(x\right)$ e $g\left(x\right)$ hanno il medesimo dominio e inoltre valgono ambedue le condizioni

• $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=+\infty$;
• $g\left(x\right)$ è inferiormente limitata in un intorno di $x_0$;

allora si ha

$$\underset{x\to x_0}{lim}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]=+\infty .$$

Combinando questo teorema col teorema di permanenza del segno si ha anche:

Corollario 50 Se, per $x\to x_0$, ambedue le funzioni $f\left(x\right)$ e $g\left(x\right)$ divergono a $+\infty$, anche la funzione $f\left(x\right)+g\left(x\right)$ diverge a $+\infty$.

Passiamo ora ad esaminare le relazioni tra le funzioni divergenti a $+\infty$ oppure $-\infty$ e l’operazione di prodotto.

Teorema 51 Se $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=+\infty$ allora:

• se $g\left(x\right)>M>0$ allora $\underset{x\to x_0}{lim}g\left(x\right)f\left(x\right)=+\infty$;
• se $g\left(x\right)<M<0$ allora $\underset{x\to x_0}{lim}g\left(x\right)f\left(x\right)=-\infty$.

Osservazione 52 Le condizioni $g\left(x\right)>M>0$ oppure $g\left(x\right)<M<0$ non possono sostituirsi con le condizioni $g\left(x\right)>0$ oppure $g\left(x\right)<0$. Si diano opportuni esempi per mostrare ciò.  $■$

In particolare:

Corollario 53 Se $f\left(x\right)$ e $g\left(x\right)$ sono due infiniti (per $x\to x_0$) anche $f\left(x\right)g\left(x\right)$ lo è; precisamente, è un infinito positivo se $f\left(x\right)$ e $g\left(x\right)$ divergono ambedue a $+\infty$ oppure a $-\infty$. Altrimenti è un infinito negativo.

2.1.2 I limiti finiti

Definiamo ora:

Definizione 54 Si dice che la funzione $f\left(x\right)$ tende ad $l$ per $x$ tendente ad $x_0$, e si scrive

$$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=l$$

(2.7)

se per ogni $𝜖>0$ esiste $\delta >0$ con questa proprietà: se $x$ verifica $|x-x_0|<\delta$, appartiene al dominio della funzione e inoltre $x\ne x_0$ allora si ha

$$|f\left(x\right)-l|<𝜖.$$

(2.8)

Se $l=0$ si dice che la funzione $f\left(x\right)$ è un infinitesimo per $x$ tendente ad $x_0$.

Si ricordi l’osservazione fatta al paragrafo 2.0.2, sull’uso del termine “infinitesimo”e che la (2.8) è un modo compatto per scrivere le due disequazioni

$$-𝜖<f\left(x\right)-l<𝜖\text{ ossia}l-𝜖<f\left(x\right)<l+𝜖.$$

(2.9)

Il punto $x_0$ può verificare o meno queste disequazioni. In modo più formale, la definizione di limite (2.7) si scrive:

$$\forall 𝜖>0\exists \delta >0|0<|x-x_0|<\delta ,x\in \text{ dom}f\Rightarrow |f\left(x\right)-l|<𝜖.$$

Per i limiti finiti per $x\to x_0$ valgono tutte le proprietà elencate al paragrafo 2.0.2, con l’avvertenza che se $x_0\in \text{ dom}f$ allora la conoscenza del limite niente permette di dire del valore della funzione in $x_0$. Per questo, limitiamoci ad enunciare i teoremi, lasciando le dimostrazioni per esercizio.

Teorema 55 (della permanenza del segno) Sia

$$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=l>0.$$

Esistono un numero $\beta >0$ ed un intorno $I$ di $x_0$ tali che se $x\in I$ ed inoltre $x\ne x_0$ si ha

$$f\left(x\right)>\beta .$$

Teorema 56 (della limitatezza locale) Se

$$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=l\in ℝ$$

allora esistono numeri $M$ e $\delta >0$ tali che se $|x-x_0|<\delta$ allora $\left|f\left(x\right)\right|<M$; ossia, $f\left(x\right)$ è limitata in un intorno di $x_0$.

Si faccia attenzione al fatto che in questo teorema non è necessario escludere il punto $x_0$: la definizione di limite dà la limitatezza in un intorno di $x_0$, escluso il punto $x_0$. Ma, come si è notato al Corollario 13, il valore che la funzione ha in un punto non altera la sua proprietà di essere limitata o meno.

Teorema 57 (unicità del limite) Se

$$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=l,\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=m.$$

Allora, $l=m$.

Teorema 58 Vale

$$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=l$$

se e solo se

$$\underset{x\to x_0}{lim}\left(f\left(x\right)-l\right)=0$$

ossia, se $\left(f\left(x\right)-l\right)$ è un infinitesimo per $x\to x_0$.

Teorema 59 Le funzioni che compaiono in questo teorema hanno il medesimo dominio. Valga

$$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=l\in ℝ,\underset{x\to x_0}{lim}g\left(x\right)=m\in ℝ.$$

Allora vale:

• $\underset{x\to x_0}{lim}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=l+m$;
• $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)g\left(x\right)=lm$;
• se le disuguaglianze
  $$f\left(x\right)\le h\left(x\right)\le g\left(x\right)$$

  valgono in un intorno di $x_0$, escluso al più il punto $x_0$, e se $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{lim}g\left(x\right)=m$ allora si ha anche

  $$\underset{x\to x_0}{lim}h\left(x\right)=m.$$

L’ultima affermazione si chiama ancora Teorema di confronto

Teorema 60 Sia ha:

• se $\underset{x\to x_0}{lim}\left|f\left(x\right)\right|=+\infty$ allora $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{1}{f\left(x\right)}=0$;
• se $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=0$ e se $f\left(x\right)$ non è identicamente nulla in un intorno di $x_0$, allora $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{1}{\left|f\left(x\right)\right|}=+\infty$;
• se $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=l\in ℝ$, $l\ne 0$ allora $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{1}{f\left(x\right)}=\frac{1}{l}$;
• se $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=l\in ℝ$, $l\ne 0$ e se $\underset{x\to x_0}{lim}g\left(x\right)=m$ allora $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{g\left(x\right)}{f\left(x\right)}=\frac{m}{l}$.

Infine, enunciamo l’analogo del Teorema 42.

Teorema 61 Le due funzioni $f\left(x\right)$ e $g\left(x\right)$ abbiano lo stesso dominio. Se

$$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=0$$

e $g\left(x\right)$ è limitata in un intorno di $x_0$, allora vale anche

$$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)g\left(x\right)=0.$$

Notiamo ancora che questo teorema non richiede che $g\left(x\right)$ abbia limite finito, ma, grazie al teorema della limitatezza locale, vieta che abbia limite $+\infty$ oppure $-\infty$.

Relazioni tra limiti finiti e infiniti Sia

$$\underset{x\to x_0}{lim}\left|f\left(x\right)\right|\to +\infty ,\underset{x\to x_0}{lim}g\left(x\right)\to 0.$$

allora:

$$\left|\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right|\to +\infty ,\frac{g\left(x\right)}{f\left(x\right)}\to 0.$$

Invece, niente può dirsi in generale del prodotto di un infinito e di in infinitesimo e del quoziente di due infinitesimi, come si vede esaminando $f\left(x\right)g\left(x\right)$ ed $f\left(x\right)∕g\left(x\right)$ con

$$f\left(x\right)=x\text{e }g\left(x\right)=1∕x\text{, oppure }=1∕x^2\text{, oppure }=1∕\sqrt{x}\text{.}$$

2.1.3 Regole di calcolo e forme indeterminate

Abbiamo già visto le tabelle delle “regole di calcolo” che si usano quando nel calcolo di un limite compare il simbolo $\pm \infty$, e le “forme indeterminate”, ossia quei casi nei quali nessun teorema fornisce risposte generali. Le abbiamo viste per casi particolari della definizione di limite, ma esse si applicano a ciascuna delle definizioni. Per questo le ripetiamo nuovamente, nella tabella 2.8, inserendo per memoria nelle colonne delle regole e delle forme indeterminate due casi che incontreremo al paragrafo 2.3 e che nascono nel calcolare limiti di funzioni del tipo $f{\left(x\right)}^{g\left(x\right)}$.

La tabella è la 2.8 alla fine di questo capitolo

Spieghiamo come vanno intese le regole e le forme indeterminate di tipo esponenziale. Le formule di tipo esponenziale si incontrano calcolando limiti di funzioni della forma $f{\left(x\right)}^{g\left(x\right)}$. La tabella dice che se ambedue le funzioni tendono a $+\infty$, anche $f{\left(x\right)}^{g\left(x\right)}\to +\infty$ mentre se $f\left(x\right)\to 1$ e $g\left(x\right)\to +\infty$ niente può dirsi in generale: si ha una forma indeterminata. Le due regole

$${\left(+\infty \right)}^{+\infty }=+\infty ,{\left(+\infty \right)}^{-\infty }=0$$

sono state scritte nella medesima casella perché in realtà sono la medesima regola. Infatti, la regola ${\left(+\infty \right)}^{+\infty }=+\infty$ va intesa come

$$\text{ se}\left\{\begin{array}{c}f\left(x\right)\to +\infty \hfill \\ g\left(x\right)\to +\infty \hfill \end{array}\right.\text{ allora}limf{\left(x\right)}^{g\left(x\right)}=+\infty .$$

Se $g\left(x\right)\to -\infty$ e $f\left(x\right)\to +\infty$ allora

$$f{\left(x\right)}^{g\left(x\right)}=\frac{1}{f{\left(x\right)}^{-g\left(x\right)}}\to 0.$$

Infatti, il denominatore tende a $+\infty$ e quindi la frazione è un infinitesimo. In modo analogo si tratta $0^{-\infty }$, che si ottiene da $f{\left(x\right)}^{g\left(x\right)}$ con $g\left(x\right)\to -\infty$ ed $f\left(x\right)\to 0$, con $f\left(x\right)>0$ per poter definire la potenza. Per la stessa ragione, sono nella stessa casella le due forme indeterminate $0^0$ ed ${\infty }^0$. Naturalmente, l’uso della tabella richiede qualche cautela: per esempio, non si può calcolare il limite di $1∕f\left(x\right)$ se la funzione $f\left(x\right)$ è identicamente nulla; non si può calcolare $f{\left(x\right)}^{g\left(x\right)}$ se $f\left(x\right)$ è negativa. Ciò spiega perché nella tabella manca l’espressione formale ${\left(-\infty \right)}^0$.

2.1.4 Ancora sulle definizioni di limite

Abbiamo dato quattro distinte definizioni di limite. Mostriamo ora che in realtà si tratta di un’unica definizione. Prima di tutto osserviamo che la definizione di limite per $x\to x_0\in ℝ$ non si applica realmente alla funzione $f\left(x\right)$ ma alla restrizione di $f\left(x\right)$ a $\text{ dom}f\left(x\right)-\left\{x_0\right\}$. Ovviamente, se $x_0\notin \text{ dom}f\left(x\right)$ la funzione rimane invariata. Consideriamo ora

$$\underset{x\to \alpha }{lim}f\left(x\right)=\beta$$

dove $\alpha$ e $\beta$ possono essere numeri oppure i simboli $+\infty$ oppure $-\infty$. Ovviamente, $\pm \infty$ non è un numero e quindi $\text{ dom}f\left(x\right)-\left\{\pm \infty \right\}=\text{ dom}f\left(x\right)$. Per poter parlare di $\underset{x\to \alpha }{lim}$, dobbiamo richiedere che $\text{ dom}f\left(x\right)$ intersechi ogni intorno di $\alpha$, sia che $\alpha$ sia un numero, sia che $\alpha =\pm \infty$ (in quest’ultimo caso, “intorno di $\pm \infty$” indica una semiretta $x>a$ oppure $x<a$). Se questa condizione non vale, non si può parlare di $\underset{x\to \alpha }{lim}$. Supponiamo quindi che questa condizione valga. Allora,

$$\underset{x\to \alpha }{lim}f\left(x\right)=\beta$$

vuol dire che per ogni intorno di $I\left(\beta \right)$ di $\beta$ esiste un intorno $V\left(\alpha \right)$ di $\alpha$ con questa proprietà:

$$\forall x\in V\left(\alpha \right)\cap \left(\text{ dom}f\left(x\right)-\left\{\alpha \right\}\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in I\left(\beta \right).$$

Ossia, le quattro definizioni di limite possono riformularsi in modo unificato. E ciò spiega la ragione per cui le dimostrazioni dei teoremi nei quattro casi seguono le medesime idee.

2.1.5 Limiti di restrizioni di funzioni e limiti direzionali

Con $\alpha$ si indichi un numero oppure uno dei simboli $+\infty$ oppure $-\infty$ e sia $f\left(x\right)$ una funzione il cui dominio interseca ogni intorno di $\alpha$ in punti diversi da $\alpha$ se questo è un numero. Sia $D\subseteq \text{ dom}f\left(x\right)$ un insieme che interseca ogni intorno di $\alpha$ in punti diversi da $\alpha$ se questo è un numero. Si può allora considerare la restrizione di $f\left(x\right)$ a $D$ e se ne può considerare il limite per $x\to \alpha$. Per semplificare la notazione, poniamo

$$g\left(x\right)=f_{{|}_D}\left(x\right).$$

E’chiaro che:

Lemma 62 Se

$$\underset{x\to \alpha }{lim}f\left(x\right)=\beta \text{con }\beta \in ℝ\text{ oppure }\beta =+\infty \text{, }\beta =-\infty$$

allora $g\left(x\right)$ ha, per $x\to \alpha$, il medesimo limite $\beta$: $\underset{x\to \alpha }{lim}g\left(x\right)=\underset{x\to \alpha }{lim}f\left(x\right)=\beta$.

Dim. La dimostrazione è ovvia: per ipotesi, per ogni $I\left(\beta \right)$ (intorno di $\beta$) esiste $V\left(\alpha \right)$ (intorno di $\alpha$) tale che se $x\in V\left(\alpha \right)\cap \left(\text{ dom}f\left(x\right)\setminus \left\{\alpha \right\}\right)$ si ha $f\left(x\right)\in I\left(\beta \right)$. In particolare, $x\in V\left(\alpha \right)\cap \left(D\setminus \left\{\alpha \right\}\right)=V\left(\alpha \right)\cap \left(\text{ dom}g\left(x\right)\setminus \left\{\alpha \right\}\right)$ implica $g\left(x\right)=f\left(x\right)=V\left(\beta \right)$.  $■$

Se però la funzione non ammette limite, certe sue restrizioni possono ammettere limite. Per esempio, sia $f\left(x\right)=sinx$ e se ne consideri la restrizione all’insieme $D=\left\{k\pi |k\in \mathbb{N}\right\}$. Questa restrizione, chiamiamola $g\left(x\right)$, vale costantemente $0$ e quindi essa ha limite $0$ per $x\to +\infty$, mentre $f\left(x\right)=sinx$ non ha limite per $x\to +\infty$. Consideriamo ora la restrizione di $f\left(x\right)=sinx$ all’insieme $D_1=\left\{2k\pi +\pi ∕2|k\in \mathbb{N}\right\}$. Questa seconda restrizione, chiamiamola $g_1\left(x\right)$, vale costantemente $1$ e quindi il suo limite per $x\to +\infty$ è $1$. Si deduce che la funzione $sinx$ non ha limite per $x\to +\infty$: lo avesse, per il Lemma 62, ambedue le restrizioni dovrebbero avere il medesimo limite, uguale a quello di $sinx$. Questo è uno dei modi più semplici per mostrare che una funzione è priva di limite: trovarne restrizioni a insiemi diversi e che ammettono limiti diversi (si confronti con quanto si dirà al paragrafo 2.3.3). Supponiamo che una funzione sia definita nei due intervalli $\left(a,x_0\right)$ ed $\left(x_0,b\right)$. In $x_0$ la funzione potrà essere definita o meno. Allora, per rappresentare il grafico della funzione, potrà convenire studiare separatamente le due restrizioni di $f\left(x\right)$ a sinistra di $x_0$, ossia per $x\in \left(a,x_0\right)$, ed a destra di $x_0$, ossia per $x\in \left(x_0,b\right)$. I limiti per $x\to x_0$ di tali restrizioni si chiamano i limiti direzionali di $f\left(x\right)$ per $x\to x_0$, rispettivamente da sinistra e da destra. Ossia, “limite sinistro”, rispettivamente “limite destro” di $f\left(x\right)$ per $x\to x_0$ sono i due limiti

$$\underset{x\to x_0}{lim}{f}_{{|}_{\left(a,x_0\right)}}\left(x\right),\underset{x\to x_0}{lim}{f}_{{|}_{\left(x_0,b\right)}}\left(x\right).$$

Questi due limiti, se esistono, si indicano con simboli particolari:

$$\begin{array}{ccc}\hfill & \hfill & \hfill \underset{x\to x_0}{lim}{f}_{{|}_{\left(a,x_0\right)}}\left(x\right)\text{si indica con uno dei due simboli seguenti}\\ \hfill & \hfill & \hfill \underset{x\to x_0-}{lim}f\left(x\right)\text{ oppure}f\left(x_0^{-}\right);& \hfill \\ \hfill & \hfill & \hfill \underset{x\to x_0}{lim}{f}_{{|}_{\left(x_0,b\right)}}\left(x\right)\text{si indica con uno dei due simboli seguenti}& \hfill \\ \hfill & \hfill & \hfill \underset{x\to x_0+}{lim}f\left(x\right)\text{ oppure}f\left(x_0^{+}\right).\end{array}$$

(a seconda degli autori, e delle esigenze di leggibilità, i segni $-$ e $+$ si mettono ad esponente di $x_0$ o semplicemente a destra di $x_0$. Ovviamente, non si possono mettere a sinistra di $x_0$). Scriviamo in modo esplicito la definizione di $f\left(x_0-\right)$ ricordando che questa è la definizione di limite di una funzione definita solamente per $x<x_0$. Considerando il caso del limite uguale ad $l\in ℝ$ si ha:

$$\forall 𝜖>0\exists \delta >0|\forall x\in \text{ dom}f\left(x\right),x_0-\delta <x<x_0\Rightarrow |f\left(x\right)-l|<𝜖.$$

Si noti:

Se $f\left(x\right)$ è definita solo a sinistra di $x_0$ allora le due definizioni di $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)$ e di $\underset{x\to x_0-}{lim}f\left(x\right)$ coincidono. Analoga osservazione se il dominio di $f\left(x\right)$ è contenuto in $\left(x_0,+\infty \right)$.

I due limiti direzionali possono esistere, finiti o meno, oppure può esisterne uno solo. Se ambedue esistono, possono concidere o meno. Però vale l’asserto seguente (la prima affermazione è un caso particolare del lemma 62. La semplice dimostrazione della seconda si lascia per esercizio).

Teorema 63 Sia $x_0\in \left(a,b\right)$ e $\text{ dom}f\left(x\right)\supseteq \left(a,b\right)\setminus \left\{x_0\right\}$. Se esiste, finito o meno,

$$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)$$

allora esistono i due limiti direzionali, ambedue uguali al limite. Se esistono ambedue i limiti direzionali, finiti o meno, e questi coincidono, allora esiste anche il limite di $f\left(x\right)$ e vale

$$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=f\left(x_0-\right)=f\left(x_0+\right).$$

Infine enunciamo:

Teorema 64 Esista, finito o meno, $\underset{x\to x_0-}{lim}f\left(x\right)=\alpha$. Se la funzione è pari, esiste $\underset{x\to -x_0+}{lim}f\left(x\right)$ e si ha

$$\underset{x\to -x_0+}{lim}f\left(x\right)=\alpha .$$

Se la funzione è dispari si ha

$$\underset{x\to -x_0+}{lim}f\left(x\right)=-\alpha .$$

Se $x_0=0$ e se la funzione è pari,

$$\underset{x\to 0+}{lim}f\left(x\right)=\alpha \text{implica}\underset{x\to 0-}{lim}f\left(x\right)=\alpha \text{e quindi}\underset{x\to 0}{lim}f\left(x\right)=\alpha .$$

2.1.6 Gli infinitesimi: ricapitolazione

Abbiamo già detto che si chiama infinitesimo (per $x\to \pm \infty$ oppure per $x\to x_0$) una funzione che ammette limite uguale a zero. Tali funzioni sono di importanza centrale nelle applicazioni della matematica e inoltre si usano spesso per calcolare limiti finiti. Infatti, per verificare che $f\left(x\right)\to l$ conviene spesso verificare che $f\left(x\right)-l\to 0$. Per questo conviene ricapitolare le proprietà degli infinitesimi. Scriveremo genericamente $x\to \alpha$ per intendere $x\to \pm \infty$ oppure $x\to x_0$. Ricordiamo che un intorno di $+\infty$ (rispettivamente, di $-\infty$) è una semiretta $\left(a,+\infty \right)$ (rispettivamente, $\left(-\infty ,a\right)$). Una prima proprietà, ovvia, è la seguente. che si vede immediatamente perché la definizione di infinitesimo dipende dalle disequazioni

$$\left|f\left(x\right)\right|<𝜖:$$

Lemma 65 La funzione $f\left(x\right)$ è un infinitesimo (per $x\to \alpha$) se e solo se $\left|f\left(x\right)\right|$ lo è.

Il risultato fondamentale è il seguente.

Teorema 66 Le funzioni che figurano in questo teorema hanno tutte il medesimo dominio. Valgono le seguenti proprietà:

a) se $f\left(x\right)$ e $g\left(x\right)$ sono due infinitesimi (per $x\to \alpha$) anche $f\left(x\right)+g\left(x\right)$ lo è;

b) siano $f\left(x\right)$ e $g\left(x\right)$ infinitesimi (per $x\to \alpha$). Valga inoltre

$$f\left(x\right)\le h\left(x\right)\le g\left(x\right).$$

Allora anche $h\left(x\right)$ è un infinitesimo (per $x\to \alpha$).

c) Se $f\left(x\right)$ è un infinitesimo (per $x\to \alpha$) e $g\left(x\right)$ è limitata in un intorno di $\alpha$ allora anche $f\left(x\right)g\left(x\right)$ è un infinitesimo per $x\to \alpha$.

d) Se $\left|f\left(x\right)\right|$ è un infinito (per $x\to \alpha$) allora $1∕f\left(x\right)$ è un infinitesimo (per $x\to \alpha$).

Queste proprietà sono già state provate sia per $\alpha \in ℝ$ che per $\alpha =\pm \infty$. L’asserto b) si chiama teorema del confronto L’asserto c) combinato col teorema della limitatezza locale ha il corollario seguente:

Corollario 67 Se $f\left(x\right)$ è un infinitesimo (per $x\to \alpha$) e inoltre $\underset{x\to \alpha }{lim}g\left(x\right)=l\in ℝ$ allora $f\left(x\right)g\left(x\right)$ è un infinitesimo (per $x\to \alpha$ ).

Infine, ricordiamo che il teorema del confronto si usa spesso in questa forma: si sa che

$$0\le \left|h\left(x\right)\right|\le g\left(x\right),\underset{x\to \alpha }{lim}g\left(x\right)=0.$$

Allora vale anche

$$\underset{x\to \alpha }{lim}h\left(x\right)=0.$$

Infatti, si scelga $f\left(x\right)\equiv 0$, che è un infinitesimo (per $x\to \alpha$). Il teorema del confronto dice che $\left|h\left(x\right)\right|$ è un infinitesimo e ciò equivale a dire che $h\left(x\right)$ è un infinitesimo.

2.1.7 Gli asintoti

Supponiamo che esista almeno uno dei due limiti direzionali $f\left(x_0-\right)$ oppure $f\left(x_0+\right)$ e che questo sia infinito. In tal caso la retta verticale $x=x_0$ si chiama asintoto verticale per la funzione $f\left(x\right)$. Notiamo che niente vieta che ambedue i limiti direzionali esistano, e che siano infiniti, magari di segno opposto; o che uno solo esista, o che uno sia infinito e l’altro finito. Se accade che

$$\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=l$$

allora la retta orizzontale $y=l$ si chiama asintoto orizzontale destro di $f\left(x\right)$. Si dice che $y=l$ è asintoto orizzontale sinistro se

$$\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)=l.$$

Nel caso che sia

$$l=\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)$$

si dice che la retta orizzontale $y=l$ è asintoto orizzontale bilatero. Consideriamo ora una retta

$$y=mx+n$$

e consideriamo lo scarto in verticale tra il punto del grafico e il corrispondente punto della retta; ossia consideriamo per ogni $x$ la funzione

$$f\left(x\right)-\left(mx+n\right).$$

Se accade che questa funzione tende a zero per $x\to +\infty$, la retta si chiama asintoto obliquo destro; se tende a zero per $x\to -\infty$ si parla di asintoto obliquo sinistro e un asintoto obliquo sia destro che sinistro si chiama asintoto obliquo bilatero. Un modo per trovare i coefficienti $m$ ed $n$ è il seguente, che illustriamo per gli asintoti obliqui destri: prima si calcola $m$, dato da

$$m=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{f\left(x\right)}{x}$$

nel caso in cui il limite esista e sia finito. Altrimenti l’asintoto obliquo non c’è. Calcolato $m$ si calcola

$$n=\underset{x\to +\infty }{lim}\left(f\left(x\right)-mx\right),$$

ancora nel caso in cui il limite esista e sia finito. Altrimenti, non c’è asintoto obliquo. Calcolati $m$ ed $n$, l’asintoto obliquo risulta identificato.

Si noti che l’asintoto orizzontale è il caso particolare dell’asintoto obliquo, nel caso del coeffciente angolare nullo, $m=0$, ed $n\ne \pm \infty$. Dunque, se si è trovato che esite l’asintoto orizzontale, l’asintoto obliquo (con $m\ne 0$) non esiste e non bisogna perdere tempo a ricercarlo.

E’ appena il caso di notare che un asintoto obliquo (destro) può esistere solo se

$$\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=+\infty .$$

E quindi, se c’è asintoto obliquo, non c’è asintoto orizzontale. Si riadattino queste considerazioni al caso degli asintoti obliqui sinistri.

2.1.8 Alcuni errori concettuali importanti

Lo studio dei limiti inizia spesso nella Scuola Media Superiore, dove però l’accento è posto principalmente sulle funzioni razionali, ossia sui quozienti di polinomi, oltre che sulle funzioni goniometriche, esponenziali, logaritmo. Tali funzioni hanno alcune proprietà particolari, e lo studente si abitua a dare per scontate alcuni fatti che non valgono in casi più generali. Tra questi, due errori vanno sottolineati in modo particolare.

Errore 1) Se una funzione è definita su un intervallo aperto $\left(a,b\right)$ ma non nell’estremo $a$, allora la funzione ha un asintoto verticale $x=a$. Quest’affermazione è vera per le funzioni razionali ed anche per le funzioni $logx$, $tanx$, $\text{ cotan}x$ ma non è vera in generale. Ciò è mostrato all’esempio 68.

Errore 2) se $x=x_0$ è un asintoto verticale per una funzione $f\left(x\right)$, allora la funzione non è definita in $x_0$. Quest’affermazione è vera per le funzioni razionali ed anche per le funzioni $logx$, $tanx$, $\text{ cotan}x$ ma non è vera in generale. Ciò è mostrato all’esempio 69.

Esempio 68 Si consideri la funzione

$$f\left(x\right)=2^{-1∕x^2}.$$

Questa funzione è definita su $ℝ-\left\{0\right\}$, però è limitata

$$0\le 2^{-1∕x^2}\le 1.$$

Dunque non è vero che $\underset{x\to 0}{lim}\left|f\left(x\right)\right|=+\infty$ e quindi $x_0=0$ non è asintoto verticale. Si cerchi di provare per esercizio che vale

$$\underset{x\to 0}{lim}{2}^{-1∕x^2}=0.$$

Il grafico di questa funzione è in figura 2.3, a sinistra. Un altro esempio importante è quello delle funzioni

$$f\left(x\right)=arctan\frac{1}{x},g\left(x\right)=\left|arctan\frac{1}{x}\right|.$$

Anche queste funzioni sono definite su $ℝ-\left\{0\right\}$ e verificano

$$-\frac{\pi }{2}\le f\left(x\right)<\frac{\pi }{2},0\le g\left(x\right)\le \frac{\pi }{2}.$$

Quindi, il loro limite per $x\to 0$ non può essere infinito; ossia $x=0$ non è asintoto verticale di queste funzioni. Il grafico della funzione $g\left(x\right)$ è in figura 2.3, a destra.  $■$

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figure 2.2: Funzioni non definite in un punto, prive di asintoto verticale. Sinistra: $f\left(x\right)=2^{-1∕x^2}$ (link) ; destra $f\left(x\right)=|arctan\left(1∕x\right)|$ (link)

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Esempio 69 Ricordiamo che la definizione di limite (per $x\to x_0$) non risente del valore della funzione in $x_0$; e quindi il limite non cambia ridefinendo in modo arbitrario la funzione in $x_0$. Per esempio, la funzione

$$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{1}{\left|x\right|}\hfill & \text{ se}\hfill & x\ne 0\hfill \\ 5\hfill & \text{ se}\hfill & x=0\hfill \end{array}\right.$$

ammette asintoto verticale in $x=0$, pur essendo definita in $x=0$. Un esempio più naturale è il seguente. Si ricordi che la funzione mantissa è la funzione

$$M\left(x\right)=x-\left[x\right],\text{(}\left[\cdot \right]\text{ indica la parte intera).}$$

sia $x_0=1$ e sia

$$f\left(x\right)=M\left(x\right)-1=\left\{\begin{array}{ccc}x-1\hfill & \text{ se}\hfill & 0\le x<1\hfill \\ x-2\hfill & \text{ se}\hfill & 1\le x<2,\hfill \end{array}\right.\frac{1}{f\left(x\right)}=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{1}{x-1}\hfill & \text{ se}\hfill & 0\le x<1\hfill \\ \frac{1}{x-2}\hfill & \text{ se}\hfill & 1\le x<2.\hfill \end{array}\right.$$

Sia $g\left(x\right)=1∕f\left(x\right)$. Allora,

$$g\left(1\right)=-1,\underset{x\to 1+}{lim}g\left(x\right)=-1,\underset{x\to 1-}{lim}g\left(x\right)=-\infty .$$

Questa funzione è definita in $x_0=1$ e inoltre la retta $x=1$ è asintoto verticale. Il suo grafico è in figura 2.3.  $■$

---

figure 2.3: grafico di $1∕\left(M\left(x\right)-1\right)$

---

2.1.9 Il numero e

E’ importante sapere che la funzione

$$h\left(x\right)={\left(1+x\right)}^{1∕x}$$

ammette limite per $x\to 0$. Il limite è un numero irrazionale che si indica col simbolo $e$ (iniziale di Eulero¹) ed è circa $2,7$:

$$\underset{x\to 0}{lim}{\left(1+x\right)}^{1∕x}=e,2,718<e<2,719.$$

Il numero $e$ è quindi anche il limite della successione ottenuta segliendo $x=1∕n$:

$$e=lim{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n.$$

Usando il teorema delle funzioni composte (che verrà trattato al paragrafo 2.3) si vede che

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x}{log}_a\left(1+x\right)={log}_{a}e.$$

In particolare, scegliendo $a=e$,

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x}{log}_e\left(1+x\right)=1.$$

E’ per questa ragione che, se non altrimenti detto, i logaritmi che useremo sono sempre logaritmi in base $e$, e verranno indicati semplicemente col simbolo $logx$, omettendo l’indicazione della base. Talvolta si usa il simbolo $lnx$, dato che i logaritmi in base $e$ si chiamano anche logaritmi naturali Analogamente, col termine funzione esponenziale si intende la funzione $x\mapsto e^x$. Usando il teorema delle funzioni composte (si veda il paragrafo 2.3) e la definizione del numero $e$, si può mostrare che

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1}{x}=1.$$

2.1.10 Limiti da ricordare

Elenchiamo i limiti che vanno imparati subito a memoria. Si chiamano² “limiti notevoli” quelli della tabella 2.3.

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Table 2.3: I “limiti notevoli”

$$\begin{array}{|cc|}\hline \underset{x\to 0}{lim}\frac{sinx}{x}=1& lim{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=e\\ \underset{x\to 0}{lim}\frac{log\left(1+x\right)}{x}=1& \underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1}{x}=1\\ \hline\end{array}$$

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I “limiti notevoli” hanno questo nome perché è da essi che si calcolano alcune delle derivate importanti. Ulteriori limiti da conoscere sono i seguenti.

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Table 2.4: Ulteriori limiti

$$\begin{array}{|cc|}\hline \underset{x\to x_0}{lim}\frac{\left[logx-log{x}_0\right]}{x-x_0}=\frac{1}{x_0}& \underset{x\to x_0}{lim}\frac{e^x-e^{x_0}}{x-x_0}=e^{x_0}\\ \underset{x\to x_0}{lim}sinx=sin{x}_0& \underset{x\to x_0}{lim}cosx=cos{x}_0\\ \underset{x\to +\infty }{lim}\frac{logx}{x^{\alpha }}=0(per\; ogni\alpha >0)& \underset{x\to 0+}{lim}{x}^{\alpha }\cdot logx=0(per\; ogni\alpha >0)\\ \underset{x\to +\infty }{lim}\frac{e^x}{x^{\alpha }}=+\infty (per\; ogni\alpha )& \underset{x\to -\infty }{lim}|x{|}^{\alpha }{e}^x=0(per\; ogni\alpha )\\ lim\sqrt[n]{a}=1(per\; ognia>0)& lim\sqrt[n]{n}=1\\ \hline\end{array}$$

---

$$\underset{x\to +\infty }{lim}{a}^x=\left\{\begin{array}{cc}+\infty \hfill & \text{se }a>1\text{;}\hfill \\ 1\hfill & \text{se }a=1\text{;}\hfill \\ 0\hfill & \text{se }0\le a<1\text{;}\hfill \end{array}\right.\underset{x\to +\infty }{lim}{x}^a=\left\{\begin{array}{cc}+\infty \hfill & \text{se }a>0\text{;}\hfill \\ 1\hfill & \text{se }a=0\text{;}\hfill \\ 0\hfill & \text{se }a<0\text{ .}\hfill \end{array}\right.$$

2.2 La continuità

Abbiamo bisogno della definizione seguente:

Definizione 70 Sia $A\subseteq ℝ$. Si dice che $x_0\in ℝ$ è punto isolato di $A$ quando esiste in intorno $I\left(x_0\right)$ tale che $A\cap I\left(x_0\right)=\left\{x_0\right\}$.

Dunque, ogni punto isolato di $A$ è un punto di $A$ e inoltre un punto non può essere contemporaneamente isolato e di accumulazione per $A$. Per esempio, $2$ è punto isolato (e quindi non di accumulazione) di $A=\left[0,1\right]\cup \left\{2\right\}$. Veniamo ora alla definizione di continuità. Per poter parlare di continuità di una funzione in un punto $x_0$ è necessario che $x_0$ appartenga al dominio della funzione³. Sia quindi $f\left(x\right)$ una funzione il cui dominio contiene un punto $x_0$.

Definizione 71 la funzione $f\left(x\right)$ è continua in $x_0$ quando si verifica uno dei due casi seguenti:

• il punto $x_0$ è punto isolato di $\text{ dom}f\left(x\right)$.
• il punto $x_0$ è punto di accumulazione per $\text{ dom}f\left(x\right)$, esiste $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)$ ed inoltre
  $$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=f\left(x_0\right).$$

Si dice che $f\left(x\right)$ è continua da destra in $x_0$ quando è continua la funzione $f_{{|}_{\left[x_0,+\infty \right)}}$. Analoga definizione per la continuità da sinistra

Osservazione 72 La scelta di definire “continua” una funzione nei punti isolati del dominio può sembrare bizzarra. Ne vedremo tra poco l’utilità. Notiamo però subito una conseguenza: ogni successione è continua in ciascun punto del suo dominio.  $■$

La definizione di continuità può darsi in modo “unificato” come segue: $f\left(x\right)$ è continua in $x_0$ quando⁴

$$\forall 𝜖>0\exists \delta >0:\left\{\begin{array}{c}|x-x_0|<\delta \hfill \\ x\in \text{ dom}f\left(x\right)\hfill \end{array}\right.\Rightarrow |f\left(x\right)-f\left(x_0\right)|<𝜖.$$

Questa sembra la definizione di limite, ma non è così: non abbiamo richiesto che $x_0$ sia punto di accumulazione di $\text{ dom}f\left(x\right)$; e, se $x_0$ è punto isolato, l’unico punto di $\text{ dom}f\left(x\right)$ che verifica $|x-x_0|<\delta$ è, per $\delta$ abbastanza piccolo, il solo punto $x_0$. Notare che la definizione di limite richiede anche di imporre $x\ne x_0$, condizione che nel contesto della definizione di continuità si può omettere perché $0=|f\left(x_0\right)-f\left(x_0\right)|$ è automaticamente minore di $𝜖$, che è positivo. Dunque, se $x_0$ è punto di accumulazione di $\text{ dom}f\left(x\right)$ allora $f\left(x\right)$ è continua in $x_0$ se e solo se

$$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=f\left(x_0\right).$$

Vale il teorema seguente:

Teorema 73 Siano $f\left(x\right)$ e $g\left(x\right)$ due funzioni continue in $x_0$. Le funzioni seguenti sono continue in $x_0$:

• $f\left(x\right)+g\left(x\right)$
• $f\left(x\right)g\left(x\right)$

Se $g\left(x_0\right)\ne 0$, è continua in $x_0$ anche la funzione $f\left(x\right)∕g\left(x\right)$.

Dim. Esaminiamo il caso della somma: se $x_0$ è punto isolato per il dominio di $f\left(x\right)+g\left(x\right)$ allora questa funzione è continua in $x_0$. Altrimenti, $x_0$ è punto di accumulazione per il dominio $f\left(x\right)+g\left(x\right)$ e per la restrizione a $\text{ dom}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)$ sia della prima funzione $f\left(x\right)$ che di $g\left(x\right)$. Dunque i teoremi sui limiti mostrano che

$$\underset{x\to x_0}{lim}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)+\underset{x\to x_0}{lim}g\left(x\right)=f\left(x_0\right)+g\left(x_0\right).$$

Osservazione 74 Si noti che può darsi che $x_0$ sia punto di accumulazione sia di $\text{ dom}f\left(x\right)$ che di $\text{ dom}g\left(x\right)$ ma non del dominio della somma. Si consideri l’esempio

$$f\left(x\right)=\sqrt{x},g\left(z\right)=\sqrt{-x}.$$

Ambedue le funzioni sono continue in $x_0=0$, con $0$ punto di accumulazione dei domini, ma la funzione somma

$$f\left(x\right)+g\left(x\right)=\sqrt{x}+\sqrt{-x}$$

è definita nel solo punto $0$. Se non si definisce “continua” una funzione nei punti isolati del dominio, non si può affermare che la somma di funzioni continue è continua. Questa è la ragione per cui abbiamo dato la definizione 71.  $■$

In modo analogo si provano anche i risultati seguenti:

Teorema 75 Sia $x_0\in \left(a,b\right)\subseteq \text{ dom}f\left(x\right)$. La funzione $f\left(x\right)$ è continua in $x_0$ se e solo se è continua sia da destra che da sinistra in $x_0$.

Teorema 76 (limitatezza locale e permanenza del segno) Se $f\left(x\right)$ è continua in $x_0$ allora:

• esite un intorno $I$ di $x_0$ su cui $f\left(x\right)$ è limitata;
• se $f\left(x_0\right)>0$ allora esistono $\beta >0$ ed un intorno $I$ di $x_0$ tali che
  $$x\in I\Rightarrow f\left(x\right)>\beta$$

  (si dia l’enunciato analogo se $f\left(x_0\right)<0$).

Dim. La funzione $f\left(x\right)$ è continua in $x_0$ quando per ogni $𝜖>0$ esiste $\delta ={\delta }_{𝜖}>0$ tale che ogni $x\in \left(x_0-{\delta }_{𝜖},x_0+{\delta }_{𝜖}\right)$, incluso il punto $x_0$, si ha

$$f\left(x_0\right)-𝜖<f\left(x\right)<f\left(x_0\right)+𝜖.$$

L’asserto relativo alla limitatezza locale segue scegliedo, per esempio, $𝜖=1$. L’asserto relativo alla permanenza del segno si ottiene (quando $f\left(x_0\right)>0$) scegliendo per esempio $𝜖=f\left(x_0\right)∕2$. con questa scelta, si trova un intorno di $x_0$ su cui vale $f\left(x\right)>\frac{1}{2}f\left(x_0\right)$: il numero $\beta$ cercato è $\beta =\frac{1}{2}f\left(x_0\right)>0$.  $■$

Osservazione 77 Si noti la differenza di quest’enunciato da quello del teorema relativo ai limiti di funzioni, che potrebbero essere discontinue in $x_0$. Se $f\left(x\right)$ non è continua in $x_0$, la conoscenza del limite niente permette di concludere sul segno di $f\left(x_0\right)$.  $■$

Infine:

Definizione 78 Una funzione continua in ciascun punto di un insieme $A$ si dice “continua su $A$”. Se $A=\text{ dom}f$, la funzione si dice “continua sul suo dominio” o anche semplicemente “continua”. Per dire che $f\left(x\right)$ è continua su un insieme $A$ si scrive $f\left(x\right)\in C\left(A\right)$ o talvolta $f\left(x\right)\in C^0\left(A\right)$.

2.2.1 Classificazione delle discontinuità

Sia $f\left(x\right)$ definita in $x_0$, ma non continua. Il punto $x_0$ si dice:

• una discontinuità eliminabile di $f\left(x\right)$ se
  $$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)$$

  esiste finito e diverso da $f\left(x_0\right)$.

Il termine “discontinuità eliminabile” (o discontinuità rimuovibile) si spiega da solo: cambiando la definizione della funzione nel solo punto $x_0$, e ridefinendo

$$g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}f\left(x\right)\hfill & \text{ se}\hfill & x\ne x_0\hfill \\ \underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)\hfill & \text{ se}\hfill & x=x_0,\hfill \end{array}\right.$$

si trova una funzione continua.

• Il punto $x_0$ si chiama salto di $f\left(x\right)$, o anche discontinuità di prima specie se esistono finiti ambedue i limiti direzionali
  $$\underset{x\to x_0-}{lim}f\left(x\right),\underset{x\to x_0+}{lim}f\left(x\right)\text{diversi tra loro.}$$

Non si esclude che uno dei due limiti possa coincidere col valore della funzione; ossia che la funzione sia continua o da destra o da sinistra.

• ogni altro caso di discontinuità si chiama discontinuità di seconda specie

Infine, consideriamo una funzione $f\left(x\right)$ che non è definita in $x_0$. Supponiamo però che esista finito

$$l=\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right).$$

In questo caso, la funzione

$$g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}f\left(x\right)\hfill & \text{ se}\hfill & x\ne x_0\hfill \\ l\hfill & \text{ se}\hfill & x=x_0\hfill \end{array}\right.$$

è continua: è l’unica estensione per continuità di $f\left(x\right)$ ad $x_0$.

Osservazione 79 Se $x_0\notin \text{ dom}f\left(x\right)$ è un punto di accumulazione per $\text{ dom}f\left(x\right)$, l’estensione per continuità di $f\left(x\right)$ ad $x_0$ se esite è unica, ma possono esitere estensioni per continuità non uniche ad insiemi più grandi. Per esempio

$$\text{ se}f\left(x\right)=\left(sinx\right)∕\sqrt{x}\text{ allora}\underset{x\to 0}{lim}f\left(x\right)=0.$$

La funzione $f\left(x\right)$ ammette infinite estensioni continue ad $ℝ$, ma tutte assumono il valore $0$ in $x_0=0$. Se si vuole l’estensione continua a $\left[0,+\infty \right)$ questa è unica.  $■$

2.2.2 Continuità di alcune funzioni importanti

Sono continue le funzioni della lista seguente, ovviamente nei punti in cui sono definite:

• i polinomi⁵;
• le potenze $x\to x^{\gamma }$ con $\gamma$ reale qualsiasi;
• le funzioni razionali;
• la funzione $\left|x\right|$;
• le funzioni goniometriche⁶: $sinx$, $cosx$, $tanx$ e $\text{ cotan}x$;
• la funzione logaritmo, $x\to {log}_{a}x$, per ogni base $a$ (positiva e diversa da $1$);
• la funzione esponenziale $x\to a^x$ per ogni base $a\ge 0$.

Vediamo in particolare come si tratta il caso delle funzioni goniometriche.

Limiti e continuità di funzioni goniometriche

Ricordiamo che gli angoli si misurano in radianti, ossia che la misura dell’angolo al centro di una circonferenza di raggio $1$ è uguale alla lunghezza dell’arco che l’angolo identifica sulla circonferenza. Proviamo che per $\left|x\right|<\pi ∕2$:

• si ha: $|sinx|\le \left|x\right|$;
• si ha: $\left|x\right|\le |tanx|$.

Le funzioni $x$, $sinx$ e $tanx$ sono dispari e quindi basta provare le disuguaglianze per $x\in \left[0,\pi ∕2\right)$. La figura 2.4 illustra la definizione di $sinx$ e $tanx$: la circonferenza ha raggio $1$ e l’angolo al centro ha misura $x$, ossia $x$ è la lunghezza dell’arco che congiunge i punti $C$ ad $A$, disegnato rosso. In tal caso, $sinx$ è la lunghezza del segmento $\overline{CA}$, disegnato rosso e $tanx$ è la lunghezza del segmento $\overline{DA}$, disegnato fucsia.

---

figure 2.4: Definizione di $sinx$ e $tanx$

Sia $P=(x,y),x,y>0$ un punto sulla circonferenza trigonometrica e sia $\alpha$ l'angolo individuato dall'asse delle ascisse e dalla retta $r$ congiungente l'origine con il punto $P$ . Si definisce $sin\alpha :=y$ . Sia $Q=(x_Q,y_Q)$ il punto di intersezione tra la retta $r$ e la retta $x=1;$ si definisce $\tan \alpha :=y_Q.$

---

Si sa che in una circonferenza un arco è più lungo del segmento che ne congiunge gli estremi: l’arco che congiunge $C$ ed $E$ è più lungo del segmento $\overline{CE}$, ossia dividendo per $2$

$$0\le x\le \pi ∕2\Rightarrow sinx\le x.$$

(2.10)

Il settore circolare $ACO$ è contenuto nel triangolo rettangolo $ADO$ e quindi ha area più piccola. Calcolando le aree si trova

$$\frac{1}{2}\cdot 1\cdot x<\frac{1}{2}\cdot 1\cdot tanx$$

ossia,

$$0\le x<\pi ∕2\Rightarrow x\le tanx.$$

(2.11)

Conseguenza di queste disuguaglianze: la funzione $sinx$ è continua per $x\to 0$. Infatti, il teorema del confronto applicato a

$$0\le |sinx|\le \left|x\right|$$

mostra che

$$\underset{x\to 0}{lim}sinx=0.$$

Combinando questo con le formule di prostaferesi

$$\begin{array}{ccc}\hfill & \hfill & \hfill sinx-sin{x}_0=\left[2cos\frac{x+x_0}{2}\right]sin\frac{x-x_0}{2}\\ \hfill & \hfill & \hfill cosx-cos{x}_0=\left[2sin\frac{x+x_0}{2}\right]sin\frac{x-x_0}{2}\end{array}$$

segue che le funzioni $sinx$ e $cosx$ sono continue. Infatti per sempio si ha

$$0\le \left|cosx-cos{x}_0\right|=\left|\left[2sin\frac{x+x_0}{2}\right]sin\frac{x-x_0}{2}\right|\le |x-x_0|$$

e, per il teorema del confronto, $\underset{x\to x_0}{lim}cosx=cos{x}_0$. In particolare,

$$\underset{x\to 0}{lim}cosx=1.$$

(2.12)

Dunque anche le funzioni $tanx$ e $\text{ co}tanx$ sono continue. Proviamo ora che

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{sinx}{x}=1.$$

La funzione $sinx∕x$ è pari e quindi basta calcolarne il limite destro per $x$ tendente a $0$. Le disuguaglianze (2.10) e (2.11) implicano (ricordiamo che si lavora per $x\in \left(0,\pi ∕2\right)$)

$$0\le sinx\le x\le tanx.$$

Dividendo per $sinx$ si trova

$$1\le \frac{x}{sinx}\le \frac{1}{cosx}.$$

Usando (2.12), il teorema di confronto implica che

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{sinx}=1\text{e quindi}\underset{x\to 0}{lim}\frac{sinx}{x}=1.$$

2.3 Limiti di funzioni composte

Siano $f\left(y\right)$ e $g\left(x\right)$ due funzioni tali che $\text{ dom}f\left(y\right)\supseteq \text{ im}g\left(x\right)$ cosìche si può calcolare la funzione composta $f\left(g\left(x\right)\right)$. Supponiamo inoltre che sia

$$\underset{x\to x_0}{lim}g\left(x\right)=l,\underset{y\to l}{lim}f\left(y\right)=m.$$

(2.13)

Ci si può chiedere se sia vero che

$$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(g\left(x\right)\right)=m.$$

(2.14)

La risposta è in generale negativa. E’ positiva se si impongono ulteriori condizioni. Vale infatti:

Teorema 80 Sia $x_0$ punto di accumulazione per il dominio della funzione composta $f\circ g$. Sia $\text{ dom}f\left(y\right)\supseteq \text{ im}g\left(x\right)$ e valga

$$\underset{x\to x_0}{lim}g\left(x\right)=l,\underset{y\to l}{lim}f\left(y\right)=m.$$

Supponiamo inoltre che valga una delle tre condizioni seguenti:

1. $f\left(y\right)$ sia continua (e quindi definita) in $l$;
2. $g\left(x\right)$ non prenda il valore $l$;
3. la funzione $f\left(y\right)$ non sia definita il $l$.

Allora si ha

$$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(g\left(x\right)\right)=m.$$

Osservazione 81 Il teorema precedente vale anche se $l\notin \text{ dom}f\left(x\right)$ e vale anche se uno o ambedue i limiti $l$ e $m$ sono $\pm \infty$. Se però $l\in \text{ dom}f\left(x\right)$ allora la condizione che $g\left(x\right)$ non prenda il valore $l$ non può eliminarsi. Infatti, senza questa condizione può essere che il limite della funzione composta esista ma diverso da quello di $f\left(x\right)$ oppure che non esista, come provano i due esempi seguenti. In ambedue gli esempi,

$$f\left(y\right)=\left|\text{ sgn}\left(y\right)\right|,l=0,\underset{y\to l}{lim}f\left(y\right)=\underset{y\to 0}{lim}f\left(y\right)=1=m.$$

Consideriamo ora i due esempi:

Esempio 1) sia $x_0=0$. La funzione $g\left(x\right)$ è

$$g\left(x\right)=0\text{cosíche }\underset{x\to 0}{lim}g\left(x\right)=0\text{.}$$

Per ogni $x$ si ha

$$f\left(g\left(x\right)\right)=0\text{e quindi }\underset{x\to 0}{lim}f\left(g\left(x\right)\right)=0\ne m=1\text{.}$$

In quest’esempio, il limite della funzione composta esiste, diverso da quello di $f\left(y\right)$.  $■$

Esempio 2) E’ ancora $x_0=0$ ma la funzione $g\left(x\right)$ è

$$g\left(x\right)=xsin\left(1∕x\right)\text{cosìche }\underset{x\to 0}{lim}g\left(x\right)=0=l\text{.}$$

La funzione $f\left(g\left(x\right)\right)=\text{ sgn}\left(xsin\left(1∕x\right)\right)$ è priva di limite per $x\to 0$. Infatti, il limite non può essere nè positivo nè negativo per il teorema di permanenza del segno, dato che la funzione si annulla in ogni intorno di $0$ (infatti si annulla quando $x_k=\frac{1}{2k\pi }$). E però il limite non può essere $0$ perchè la funzione prende valore $+1$ in ogni intorno di $0$.  $■$

Corollario importante del teorema 80 è:

Corollario 82 Una funzione composta di funzioni continue è continua.

Quando $f\left(y\right)$ è continua nel punto $l$,

$$l=\underset{y\to y_0}{lim}f\left(y\right)=f\left(y_0\right),$$

l’asserto del teorema 80, ossia

$$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(g\left(x\right)\right)=f\left(l\right),$$

può scriversi

$$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(g\left(x\right)\right)=f\left(y_0\right)=f\left(\underset{x\to x_0}{lim}g\left(x\right)\right).$$

(2.15)

Ossia, se $f\left(y\right)$ è continua in $y_0$, il simbolo di $\underset{x\to x_0}{lim}$ si scambia col simbolo della funzione $f$. L’esempio seguente mostra che l’uguaglianza (2.15) è falsa se la funzione $f\left(y\right)$ non è continua in $y_0$.

Esempio 3) Sia $f\left(y\right)=\left[y\right]$ (la parte intera di $y$) e sia $g\left(x\right)=1-x^2$. Si consideri il limite per $x\to 0$. In un intorno di $0$ si ha che $y=g\left(x\right)$ prende valore tra $0$ ed $1$, ed il valore $1$ viene assunto solamente per $x=0$. Inoltre

$$\underset{x\to 0}{lim}g\left(x\right)=l=1.$$

Dunque, per $x$ in un intorno di $0$, escluso $0$,

$$\left[g\left(x\right)\right]=0\text{e quindi}\underset{x\to 0}{lim}\left[g\left(x\right)\right]=0.$$

Di conseguenza,

$$\underset{x\to 0}{lim}\left[g\left(x\right)\right]=0\ne 1=\left[\underset{x\to 0}{lim}g\left(x\right)\right].■$$

Illustriamo ora l’uso di questi risultati, che è sia “in positivo”, per garantire la continuità e l’esistenza di limiti, che “in negativo”, per verificare che certi limiti non esistono.

2.3.1 Le sottosuccessioni e i loro limiti

Sia $\left\{x_n\right\}$ una successione e sia $k\mapsto n\left(k\right)$ una successione a valori nei numeri naturali. In questo caso è possibile considerare la funzione composta $k\mapsto x_{n\left(k\right)}$, che è ancora una successione, di indice $k$. “Successioni composte” definite in modo cosígenerale hanno poco interesse. E’ invece importante il caso in cui la successione

$$k\mapsto n\left(k\right)\text{ossia la successione}\left\{n_k\right\}\text{è strettamente crescente.}$$

In questo caso la successione composta si chiama sottosuccessione di $\left\{x_n\right\}$ (si dice anche che è una “successione estratta” da $\left\{x_n\right\}$) e si indica col simbolo

$$\left\{x_{n_k}\right\}.$$

Il teorema delle funzioni composte implica che:

Teorema 83 Se $L=lim{x}_n$ allora si ha anche $L=lim{x}_{n_k}$ per ogni sottosuccessione di $\left\{x_n\right\}$.

Osserviamo che si potrebbe anche far vedere che vale il viceversa: si ha $lim{x}_n=L$ se e solo se $lim{x}_{n_k}=L$ per ogni sottosuccessione di $\left\{x_n\right\}$.

2.3.2 Risultati “in positivo”: calcolo di limiti per sostituzione

Come si è detto, la funzione composta di funzioni continue è continua. Quindi sono funzioni continue in ciascun punto del loro dominio per esempio le funzioni della tabella 2.5 (nella quale $p\left(x\right)$ e $q\left(x\right)$ indicano generici polinomi).

---

Table 2.5: Esempi di funzioni composte

$$\begin{array}{|ccccc|}\hline $ sin\left({log}_{a}x\right)$& $ {log}_a\left(sinx\right)$& $ tan\left({log}_{a}x\right)$& $ {log}_a\left(tanx\right)$& $ log\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}$\\ $ sin{a}^x$& $ a^{sinx}$& $ \sqrt{sinx}$& $ sin\sqrt{x}$& $ log\left|x\right|$\\ $ sin\sqrt{x}$& $ sin{x}^2$& $ e^{\sqrt{x}}$& $ \sqrt{logx}$& $ log\left|x\right|$\\ \hline\end{array}$$

---

Le funzioni della tabella sono solo alcuni degli esempi di funzioni la cui continuità segue immediatamente usando il Corollario 82. La tabella va letta in questo modo. Consideriamo per esempio la prima funzione, $sin\left({log}_{a}x\right)$. La funzione⁷ $\left({log}_{a}x\right)$ è definita per $x>0$ e prende valori nel dominio di $siny$. Dunque la funzione composta è definita per ogni $x>0$. Sia ${log}_{a}x$ che $siny$ sono funzioni continue, e quindi $sin\left({log}_{a}x\right)$ è una funzione continua. Consideriamo la seconda funzione, ${log}_a\left(sinx\right)$. Appartengono al suo dominio le sole $x$ per le quali $sinx$ è positivo. Ambedue le funzioni $sinx$ e $logy$ sono continue; e quindi la funzione composta è continua. Guardiamo ancora la seconda funzione della tabella, ${log}_a\left(sinx\right)$, ma questa volta per $x\to 0$. Il punto $y=0$ non appartiene al dominio di $logy$ ed è

$$\underset{x\to 0}{lim}sinx=0e\underset{y\to 0}{lim}logy=-\infty .$$

Dunque, il Teorema 80 permette di affermare che

$$\underset{x\to 0}{lim}{log}_a\left(sinx\right)=-\infty .$$

In certi casi, il teorema 80 permette di calcolare i limiti per sostituzione ossia sostituendo alla variabile $y$ una funzione invertibile ossia iniettiva e suriettiva $y=g\left(x\right)$ che semplifichi la funzione da studiare, tale che la sua funzione inversa $g^{-1}\left(y\right)$ verifichi le ipotesi del teorema. Infatti, se

$$\underset{x\to \alpha }{lim}g\left(x\right)=l,\underset{x\to \alpha }{lim}f\left(g\left(x\right)\right)=m$$

allora

$$m=\underset{y\to l}{lim}f\left(g\left(g^{-1}\left(y\right)\right)\right)=\underset{y\to l}{lim}f\left(y\right).$$

Vediamo un esempio:

Esempio 84 Si voglia calcolare

$$\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{1}{x}{\left(logx\right)}^{logx}.$$

La sostituzione $logx=t$ mostra che questo limite è uguale a

$$\underset{t\to +\infty }{lim}\frac{t^t}{e^t}=\underset{t\to +\infty }{lim}{\left(\frac{t}{e}\right)}^t=+\infty .■$$

2.3.3 Risultati “in negativo”

Il Teorema 80 si può applicare quando in particolare la funzione più interna ha dominio $\mathbb{N}$, ossia è una successione. In tal caso l’enunciato del teorema si riformula come segue:

Teorema 85 Sia

$$\underset{n\to +\infty }{lim}{x}_n=\alpha ,\underset{x\to \alpha }{lim}g\left(x\right)=\beta$$

(con i limiti $\alpha$ e $\beta$ finiti o meno) e sia $x_n\in \text{ dom}g\left(x\right)$ per ogni $n$. Nel caso in cui $\alpha \in ℝ$ assumiamo che $g\left(x\right)$ sia continua in $\alpha$ oppure che $\alpha$ non sia uno dei valori della successione. Allora,

$$\underset{n\to +\infty }{lim}g\left(x_n\right)=\beta .$$

Questo teorema si usa più spesso “in negativo”: se si trovano due successioni $\left\{x_n\right\}$ e $\left\{{\xi }_n\right\}$ ambedue convergenti ad $\alpha$ (che non prendono valore $\alpha$) tali che

$$\underset{n\to +\infty }{lim}g\left(x_n\right)\ne \underset{n\to +\infty }{lim}g\left({\xi }_n\right),$$

allora non esiste $\underset{x\to \alpha }{lim}g\left(x\right)$ (si confronti con quanto detto al paragrafo 2.1.5). Consideriamo ora la funzione

$$sin\left({log}_{a}x\right),a>1.$$

Vogliamo provare che questa funzione non ammette limite per $x\to 0$. Per questo consideriamo le due successioni cosìdefinite:

$$\begin{array}{ccc}\hfill & \hfill & \hfill {log}_a{x}_n=-2n\pi ,\text{ossia }{x}_n=a^{-2n\pi },\\ \hfill & \hfill & \hfill {log}_a{\xi }_n=\left(-2n\pi +\pi ∕2\right),\text{ossia }{\xi }_n=a^{-2n\pi +\pi ∕2}\text{.}\end{array}$$

Si noti che, essendo $a>1$, si ha: $lim{x}_n=0$, $lim{\xi }_n=0$ e inoltre

$$\underset{n\to +\infty }{lim}sin\left({log}_a{x}_n\right)=0\ne \underset{n\to +\infty }{lim}sin\left({log}_a{\xi }_n\right)=1.$$

Dunque,

$$\underset{x\to 0}{lim}sin\left({log}_{a}x\right)\text{non esiste.}$$

In modo analogo si tratta il caso $a\in \left(0,1\right)$. Queste osservazioni possono in particolare applicarsi per mostrare che non esiste il limite di certe successioni. Per esempio, il limite della successione $\left\{x_n\right\}=\left\{sinn\pi ∕2\right\}$ non esiste. Infatti consideriamo le due sottosuccessioni

$$\left\{x_{2n}\right\},\left\{x_{2n+1}\right\}.$$

La prima converge a $0$ mentre la seconda converge ad $1$ e quindi la successione $\left\{x_n\right\}$ è priva di limite (si veda anche il Teorema 83).

Regole di calcolo e forme indeterminate di tipo esponenziale

Si voglia studiare il comportamento della funzione

$$f{\left(x\right)}^{g\left(x\right)}.$$

Il modo più semplice per farlo consiste nello scrivere la funzione come

$$f{\left(x\right)}^{g\left(x\right)}=e^{g\left(x\right)logf\left(x\right)};$$

studiare il comportamento dell’esponente ed usare il teorema della funzione composta. Per esempio, se

$$f\left(x\right)\to +\infty ,g\left(x\right)\to +\infty$$

allora

$$g\left(x\right)logf\left(x\right)\to +\infty \text{e quindi}f{\left(x\right)}^{g\left(x\right)}=e^{g\left(x\right)logf\left(x\right)}=+\infty .$$

Se però

$$f\left(x\right)\to 1,g\left(x\right)\to +\infty ,g\left(x\right)logf\left(x\right)\text{ è una forma indeterminata}$$

e cosìnasce la forma indeterminata $1^{+\infty }$. Analoga origine hanno le altre “regole” o “forme indeterminate” di tipo esponenziale.

2.4 Le funzioni iperboliche

Si chiamano funzioni iperboliche la funzioni

$$sinhx=\frac{e^x-e^{-x}}{2},coshx=\frac{e^x+e^{-x}}{2}.$$

I grafici di queste funzioni sono riportati in figura 2.6, a sinistra.

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figure 2.6: I grafici delle funzioni iperboliche. Sinistra: le funzioni $sinhx$ e $coshx$; destra: le funzioni $tanhx$ e $\text{cotgh}x$

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Si definiscono quindi le funzioni

$$tanhx=\frac{sinhx}{coshx}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}},\text{ cotgh}x=\frac{coshx}{sinhx}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}.$$

I grafici sono in figura 2.6, a destra. Spieghiamo la ragione del termine “funzioni iperboliche”. Le “funzioni circolari” sono le usuali funzioni goniometriche $sinx$ e $cosx$. Si chiamano “funzioni circolari” perché la coppia $\left(x,y\right)=\left(cos𝜃,sin𝜃\right)$ verifica l’equazione della circonferenza

$$x^2+y^2=1;$$

e, viceversa, ogni punto della circonferenza trigonometrica si rappresenta come $\left(cos𝜃,sin𝜃\right)$. Le funzioni iperboliche hanno questo nome perché la coppia $\left(x,y\right)=\left(cosh𝜃,sinh𝜃\right)$ verifica l’equazione dell’iperbole equilatera

$$x^2-y^2=1$$

e, viceversa, ogni punto di quest’iperbole ha coordinate $\left(coshx,sinhx\right)$ per un’opportuna scelta di $x$. La verifica è immediata calcolando i quadrati di $cosh𝜃$ e $sinh𝜃$ e sottraendo.

Questa formula va ricordata:

$${cosh}^{2}x-{sinh}^{2}x=1.$$

Dal punto di vista dei limiti, si ha:

$x\to +\infty$	$x\to -\infty$	$x\to 0$	$x\to x_0\ne 0$
$sinhx\to +\infty$	$sinhx\to -\infty$	$sinhx\to 0$	$sinhx\to sinh{x}_0$
$coshx\to +\infty$	$coshx\to +\infty$	$coshx\to 1$	$coshx\to cosh{x}_0$
$tanhx\to 1$	$tanhx\to -1$	$tanhx\to 0$	$tanhx\to tanh{x}_0$
$\text{ cotgh}x\to 1$	$\text{ cotgh }x\to -1$	$\left|\text{ cotgh}x\right|\to +\infty$	$\text{ cotgh}x\to \text{ cotanh}{x}_0$

Dunque, le funzioni iperboliche sono continue. Le funzioni $sinhx$ e $tanhx$ sono strettamente crescenti e quindi invertibili. Ammettono funzioni inverse che si chiamano settore seno iperbolico e settore tangente iperbolica Le funzioni $coshx$ e $\text{ cotangh}x$ sono strettamente crescenti su $\left[0,+\infty \right)$. Le funzioni inverse delle loro restrizioni a tale intervallo si chiamano settore coseno iperbolico e settore cotangente iperbolica Queste quattro funzioni si indicano con i simboli $\text{ settsh}x$ $\text{ settch }x$ $\text{ sett th}x$ e $\text{ settcth}x$. I grafici delle quattro funzioni inverse sono in figura 2.7.

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figure 2.7: Le funzioni iperboliche inverse. Sinistra: le funzioni $\text{sh}x$ e $\text{sc}x$; destra: le funzioni $\text{st}x$ e $\text{sct}x$

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2.5 Confronto di funzioni

In presenza di forme indeterminate, in particolare quando si debba calcolare il limite di un quoziente, si cerca di individuare, se esistono, i “termini dominanti”, come nei due esempi seguenti:

Esempio 86 Si voglia calcolare

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2-3x}{x^3-x}.$$

E’ chiaro che per $x$ “prossimo a $0$” sia $x^2$ che $x^3$ saranno via via meno importanti rispetto ad $x$. Quindi scriveremo, per $x\ne 0$

$$\frac{x^2-3x}{x^3-x}=\left(\frac{-3x}{-x}\right)\frac{1-x∕3}{1-x^2}=3\frac{1-x∕3}{1-x^2}$$

e da qui si vede facilmente che

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2-3x}{x^3-x}=3.$$

D’altra parte, sia da calcolare

$$\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{x^2-3x}{x^3-x}.$$

In questo caso dominano a numeratore l’addendo $x^2$ ed a denominatore l’addendo $x^3$. Quindi scriveremo

$$\frac{x^2-3x}{x^3-x}=\left(\frac{x^2}{x^3}\right)\frac{1-3∕x}{1-1∕x^2}=\left(\frac{1}{x}\right)\frac{1-3∕x}{1-1∕x^2}$$

e quindi

$$\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{x^2-3x}{x^3-x}=0.■$$

Vogliamo introdurre delle definizioni che permettano di seguire quest’idea in casi più generali di quelli dell’esempio precedente. Per questo si considerano due funzioni $f\left(x\right)$ e $g\left(x\right)$ (con lo stesso dominio). Supponiamo inoltre $g\left(x\right)$ non zero. Si dice che $f$ è o piccolo di $g$ (per $x$ tendente a $\alpha$) se accade che

$$\underset{x\to \alpha }{lim}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=0.$$

Come notazione, si scrive

$$f=\text{ o}\left(g\right)$$

Si noti che la notazione “$o$” non fa comparire $\alpha$. La definizione riguarda il limite per $x\to \alpha$, ma chi sia $\alpha$ va dedotto dal contesto. Ovviamente, in un breve esercizio ciò sarà impossibile e $\alpha$ andrà esplicitamente specificato.

In questa definizione, non si richede che $f$ oppure $g$ siano infiniti o infinitesimi. Per esempio, se $g\left(x\right)\equiv 1$, la notazione

$$f=\text{ o}\left(1\right)\text{ significa}\underset{x\to \alpha }{lim}f\left(x\right)=0.$$

Ossia, si scriverà

$$f=\text{ o}\left(1\right)$$

per scrivere che $f\left(x\right)$ è un infinitesimo per $x\to \alpha$. Però, a parte questo singolo caso, di regola l’uso del simbolo di Landau “$o$” si incontra quando le due funzioni sono infiniti o infinitesimi per $x\to \alpha$, ossia come si dice, sono infiniti o infinitesimi contemporanei. L’interpretazione del significato del simbolo di Landau varia a seconda che si lavori con infiniti oppure con infinitesimi. Infatti:

Siano $f\left(x\right)$ e $g\left(x\right)$ due infiniti per $x\to \alpha$. Allora, la condizione

$$\underset{x\to \alpha }{lim}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=0$$

intuitivamente significa che $f\left(x\right)$ diverge più lentamente di $g\left(x\right)$. Per questo, quando $f=\text{ o}\left(g\right)$ ed $f\left(x\right)$ e $g\left(x\right)$ sono infiniti si dice che $f\left(x\right)$ è infinito di ordine inferiore a $g\left(x\right)$ o che $g\left(x\right)$ è infinito di ordine superiore ad $f\left(x\right)$ (sottinteso: per $x\to \alpha$).

Invece:

Siano $f\left(x\right)$ e $g\left(x\right)$ due infinitesimi per $x\to \alpha$. Allora, la condizione

$$\underset{x\to \alpha }{lim}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=0$$

intuitivamente significa che $f\left(x\right)$ tende a zero più velocemente di $g\left(x\right)$. Per questo, quando $f=\text{ o}\left(g\right)$ ed $f\left(x\right)$ e $g\left(x\right)$ sono infinitesimi si dice che $f\left(x\right)$ è infinitesimo di ordine superiore a $g\left(x\right)$ o che $g\left(x\right)$ è infinitesimo di ordine inferiore ad $f\left(x\right)$ (sottinteso: per $x\to \alpha$).

Per esercizio, passando ai reciproci, si riformulino le due proprietà appena esaminate supponendo che $|f\left(x\right)∕g\left(x\right)|\to +\infty$. Se accade che

$$\underset{x\to \alpha }{lim}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=l\in ℝ,l\ne 0$$

(2.16)

si dice che i due infiniti (o infinitesimi) $f\left(x\right)$ e $g\left(x\right)$ hanno lo stesso ordine di grandezza (brevemente, diremo che “hanno lo stesso ordine”) per $x\to \alpha$ e scriveremo

$$f\asymp g\text{sottinteso, per }x\to \alpha \text{. }$$

Se il limite in (2.16) non esiste, si dice che i due infiniti o infinitesimi $f\left(x\right)$ e $g\left(x\right)$ non sono confrontabili per $x\to \alpha$. Se invece il limite esiste, finito o meno, si dice che essi sono confrontabili Siano ancora $f\left(x\right)$ e $g\left(x\right)$ due infiniti oppure due infinitesimi (per $x\to \alpha$). Si dice che essi sono equivalenti se

$$f\left(x\right)=g\left(x\right)+\text{ o}\left(g\right).$$

In tal caso si scrive

$$f\sim g,$$

al solito sottintendendo “per $x\to \alpha$”. Dividendo i due membri per $g\left(x\right)$ e passando al limite, si vede che

Teorema 87 I due infiniti o infinitesimi contemporanei $f\left(x\right)$ e $g\left(x\right)$ sono equivalenti (per $x\to \alpha$) se e solo se

$$\underset{x\to \alpha }{lim}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=1.$$

D’altra parte,

$$\underset{x\to \alpha }{lim}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=1\Rightarrow \underset{x\to \alpha }{lim}\frac{g\left(x\right)}{f\left(x\right)}=1.$$

Dunque,

Corollario 88 Vale $f\sim g$ se e solo se $g\sim f$ e ciò accade se e solo se

$$g\left(x\right)=f\left(x\right)+\text{ o}\left(f\right).$$

Infine, può accadere che esistano numeri reali $c$ e $\gamma$ con $c\ne 0$ e tali che

$$f\left(x\right)\sim c{\left[g\left(x\right)\right]}^{\gamma }.$$

In questo caso si dice che:

• $f\left(x\right)$ è un infinito oppure un infinitesimo di ordine $\gamma$ rispetto a $g\left(x\right)$;
• la funzione $c{\left[g\left(x\right)\right]}^{\gamma }$ si chiama la parte principale di $f\left(x\right)$ rispetto a $g\left(x\right)$.

Osservazione 89 Va notato che due infinitesimi o infiniti possono essere confrontabili, senza che esista l’ordine dell’uno rispetto all’altro, ossia senza che esista la parte principale dell’uno rispetto all’altro. Per fare un esempio, consideriamo le due funzioni

$$f\left(x\right)=logx,g\left(x\right)=x.$$

Si tratta di due infiniti per $x\to +\infty$ e usando i risultati nella tabella 2.4 si vede che

$$\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=0.$$

Dunque i due infiniti sono confrontabili, e $g\left(x\right)$ è di ordine superiore rispetto ad $f\left(x\right)$. Però, ancora dalla tabella 2.4, si vede che

$$\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{f\left(x\right)}{g^{\alpha }\left(x\right)}=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{logx}{x^{\alpha }}=\left\{\begin{array}{ccc}0\hfill & \text{ se}\hfill & \alpha \ge 0\hfill \\ +\infty \hfill & \text{ se}\hfill & \alpha <0.\hfill \end{array}\right.$$

Quindi, non esiste l’ordine di $logx$ rispett a $g\left(x\right)=x$ e dunque nemmeno la parte principale.  $■$

Simboli di Landau

I simboli $\sim$, $\asymp$ ed $\text{ o}$ si chiamano simboli di Landau dal nome del matematico tedesco che li ha introdotti. Esistoni altri simboli di Landau. In particolare si dice che $f$ è O grande di $g$ (per $x\to \alpha$) se esiste $M$ ed un intorno $I$ di $\alpha$ tale che

$$x\in I\Rightarrow \left|f\left(x\right)\right|<M\left|g\left(x\right)\right|.$$

Se ciò accade si scrive

$$f=\text{ O}\left(g\right).$$

Si noti un caso particolare: se esiste finito

$$\underset{x\to \alpha }{lim}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=l$$

allora $f=\text{ O}\left(g\right)$ (in un opportuno intorno di $\alpha$). Infine, un’osservazione sul significato del simbolo $\asymp$. Di questo abbiamo dato una definizione assai particolare. Specialmente in testi di fisica, si scrive $f\asymp g$ quando esistono $m>0$ ed $M$ tali che

$$m\left|g\left(x\right)\right|\le \left|f\left(x\right)\right|\le M\left|g\left(x\right)\right|$$

almeno in un intorno di un sottinteso $\alpha$, senza richiedere l’esistenza del limite in (2.16).

2.5.1 Infiniti e infinitesimi di confronto fondamentali e formule da ricordare

Se non c’è ragione di fare diversamente, usa confrontare un infinito o un infinitesimo $f\left(x\right)$ con funzioni $gx)$ particolari, dette gli infiniti o gli infinitesimi di confronto fondamentali. Questi sono riportati nella tabella 2.6.

---

Table 2.6: Infiniti e infinitesimi di confronto fondamentali

$$\begin{array}{|ccc|}\hline $ x$tende\; a& infinito\; fondamentale& infinitesimo\; fondamentale\\ $ 0$& $ \frac{1}{\left|x\right|}$& $ \left|x\right|$\\ $ x_0$& $ \frac{1}{|x-x_0|}$& $ |x-x_0|$\\ $ +\infty $& $ x$& $ \frac{1}{x}$\\ $ -\infty $& $ \left|x\right|$& $ \frac{1}{\left|x\right|}$\\ \hline\end{array}$$

---

Alcuni dei limiti elencati al paragrafo 2.1.10 si possono riformulare come segue: Ciascuno degli infiniti seguenti è di ordine minore del successivo:

$$\left\{logn\right\},\left\{n^b\right\},\left\{a^n\right\},(\left\{n!\right\},\left\{n^n\right\}$$

perché

$$\left\{\begin{array}{cc}lim\frac{logn}{n^a}=0\hfill & \text{se }a>0\text{;}\hfill \\ lim\frac{n^b}{a^n}=0\hfill & \text{se }a>1\text{, }b>0\text{;}\hfill \end{array}\right.\left\{\begin{array}{cc}lim\frac{a^n}{n!}=0\hfill & \text{se }a>1\text{;}\hfill \\ lim\frac{n!}{n^n}=0.\hfill \end{array}\right.$$

Formule di MacLaurin Vanno ricordate subito le formule della tabella 2.7, che sono casi particolari della formula di MacLaurin che si studierà più avanti. Le ultime due righe della tabella si riferiscono a funzioni probabilmente note ad alcuni studenti, ma non a tutti. Esse verranno introdotte al paragrafo 2.4. Per interpretare le formule di MacLaurin, vanno conosciuti i simboli seguenti:

• il simbolo $n!$ che si legge $n$ fattoriale il numero $n$ deve essere intero non negativo.

Per definizione, $0!=1$ ed $1!=1$. Il simbolo $n!$ per $n>1$ si definisce per ricorrenza:

$$n!=n\left(n-1\right)!;$$

e quindi,

$$2!=2\cdot 1!=2\cdot 1=2,3!=3\cdot 2\cdot 1=6,4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24,\dots$$

• il simbolo $\left(\begin{array}{c}\hfill \gamma \hfill \\ \hfill k\hfill \end{array}\right)$, che si chiama coeffciente binomiale il numero $k$ deve essere intero non negativo mentre il numero $\gamma$ può essere reale qualsiasi.

Per definizione,

$$\begin{array}{c}\hfill \left(\begin{array}{c}\hfill \gamma \hfill \\ \hfill 0\hfill \end{array}\right)=1,\left(\begin{array}{c}\hfill \gamma \hfill \\ \hfill 1\hfill \end{array}\right)=\frac{\left(\gamma -0\right)}{1!}=\frac{\gamma }{1}\end{array}$$

Quindi si definisce

$$\left(\begin{array}{c}\hfill \gamma \hfill \\ \hfill k\hfill \end{array}\right)=\frac{\gamma \left(\gamma -1\right)\left(\gamma -2\right)\cdots \left(\gamma -\left(k-1\right)\right)}{k!}.$$

Per esempio,

$$\begin{array}{c}\hfill \left(\begin{array}{c}\hfill 1∕2\hfill \\ \hfill 2\hfill \end{array}\right)=\frac{\left(1∕2\right)\left(\left(1∕2\right)-1\right)}{2!}=\left(-\frac{1}{4}\right)\frac{1}{2}=-\frac{1}{8}\\ \hfill \left(\begin{array}{c}\hfill 1∕2\hfill \\ \hfill 3\hfill \end{array}\right)=\frac{\left(1∕2\right)\left(\left(1∕2\right)-1\right)\left(\left(1∕2\right)-2\right)}{3!}=\frac{3}{8}\left(\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{16}.\end{array}$$

Si noti che se $\gamma =n$, intero positivo, allora

$$\left(\begin{array}{c}\hfill n\hfill \\ \hfill n\hfill \end{array}\right)=1,\left(\begin{array}{c}\hfill n\hfill \\ \hfill n+1\hfill \end{array}\right)=0$$

e quindi

$$\left(\begin{array}{c}\hfill n\hfill \\ \hfill k\hfill \end{array}\right)=0,\forall k>n.$$

Ciò detto, le formule da ricordare sono nella tavola 2.7.

---

Table 2.7: Formule di MacLaurin da usare quando $(x\to 0$

$$\begin{array}{|cc|}\hline a)& $ sinx$=$ x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots +{\left(-1\right)}^k\frac{x^{2k+1}}{\left(2k+1\right)!}+\text{ o}\left(x^{2k+2}\right)$\\ b)& $ cosx$=$ 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots +{\left(-1\right)}^k\frac{x^{2k}}{\left(2k\right)!}+\text{ o}\left(x^{2k+1}\right)$\\ c)& $ tanx$=$ 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots +{\left(-1\right)}^k\frac{x^{2k}}{\left(2k\right)!}+\text{ o}\left(x^{2k+1}\right)$\\ d)& $ tanx$=$ x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\cdots +{\left(-1\right)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+\text{ o}\left(x^{2n+2}\right)$\\ e)& $ {\left(1+x\right)}^{\gamma }$=$ {\sum }_{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\gamma }{k}\right)x^k+\text{ o}\left(x^n\right)$\\ f)& $ {log}_e\left(1+x\right)$=$ x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots +{\left(-1\right)}^{\left(n-1\right)}\frac{x^n}{n}+\text{ o}\left(x^n\right)$\\ g)& $ e^x$=$ 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\text{ o}\left(x^n\right)$\\ h)& $ sinhx$=$ x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots +\frac{x^{2k+1}}{\left(2k+1\right)!}+\text{ o}\left(x^{2k+2}\right)$\\ i)& $ coshx$=$ 1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots +\frac{x^{2k}}{\left(2k\right)!}+\text{ o}\left(x^{2k+1}\right)$\\ \hline\end{array}$$

---

La formula e) si chiama formula del binomio o formula di Newton Nel caso particolare in cui $\gamma$ sia intero, $\gamma =n$, allora

$${\left(1+x\right)}^n=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)x^k+\text{ o}\left(x^n\right)=\sum _{k=0}^{n+1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)x^k+\text{ o}\left(x^{n+1}\right)$$

perché si è visto che $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n+1}\right)=0$. In questo caso vale di più: si ha

$${\left(1+x\right)}^n=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)x^k;$$

(2.17)

ossia, in questo caso l’errore $\text{ o}\left(x^n\right)$ è in realtà identicamente zero⁸. Anche la formula (2.17) si chiama formula di Newton

2.6 Appendice: ancora sulla formula del binomio di Newton

Consideriamo due casi particolari della formula binomiale:

• Si sostituisca $x$ con $-x$ e si prenda $a=-1$. In questo modo

  $$\begin{array}{ccc}\hfill {\left(1-x\right)}^{-1}& =\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{-1}{k}\right){\left(-x\right)}^k+\text{ o}\left(x^n\right)\hfill & \hfill \\ \hfill & =1+x+x^2+\cdots +x^n+\text{ o}\left(x^n\right).\hfill \end{array}$$

  In questo caso si può trovare un’espressione esplicita per $\text{ o}\left(x\right)$. Per questo si consideri il prodotto notevole⁹

  $$\begin{array}{ccc}\hfill \left(1-x\right)& \left(1+x+x^2+\cdots +x^n\right)=1-x^{n+1}\hfill & \hfill \\ \hfill \text{ossia}& 1+x+x^2+\cdots +x^n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}={\left(1-x\right)}^{-1}-\frac{x^{n+1}}{1-x}.\hfill \end{array}$$

  Si ha dunque:

  $${\left(1-x\right)}^{-1}=1+x+x^2+\cdots +x^n+\frac{x^{n+1}}{1-x}$$

  e quindi

  $$\text{ o}\left(x^n\right)=\frac{x^{n+1}}{1-x}.$$

• Si noti che se $n\in \mathbb{N}$,
  $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=0\text{ se}k>n.$$

  Dunque, se $r>n$, si ha

  $${\left(1+x\right)}^n=\sum _{k=0}^r\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)x^k+\text{ o}\left(x^r\right)=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)x^k+\text{ o}\left(x^r\right).$$

  (2.18)

  Vogliamo provare che in realtà $\text{ o}\left(x^r\right)=0$, ossia che vale la formula del binomio di Newton. Notiamo che il membro sinistro di (2.18) è un polinomio di grado $n$:

  $${\left(1+x\right)}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdot +a_n{x}^n.$$

  Notiamo che il coeffciente di $x^0$ è $1$ in ambedue i membri, ossia che $a_0=1$. Sottraendolo si ha

  $${\left(1+x\right)}^n-1=\sum _{k=1}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)x^k+\text{ o}\left(x^r\right).$$

  La funzione $\text{ o}\left(x^r\right)$ non è cambiata. Dividendo i due membri per $x$ e calcolando il limite per $x\to 0$ si vede che $x$ ha lo stesso coeffciente $a_1$ nei due membri¹⁰. Sottraendo $a_{1}x$ dai due membri si trova

  $${\left(1+x\right)}^n-1-a_{1}x=\sum _{k=2}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)x^k+\text{ o}\left(x^r\right).$$

  La funzione $\text{ o}\left(x^r\right)$ non è cambiata. Ora il procedimento si può ripetere, notando che $x^2$ ha lo stesso coeffciente $a_2$ nei due membri cosìche

  $${\left(1+x\right)}^n-1-a_{1}x-a_2{x}^2=\sum _{k=3}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)x^k+\text{ o}\left(x^r\right)$$

  e ciò non cambia la funzione $\text{ o}\left(x^r\right)$. Ripetiamo il procedimento. Dopo aver sottratto anche $a_n{x}^n$ ai due membri si trova

  $$\text{ o}\left(x^r\right)=0$$

  Dunque, la (2.18) in realtà vale con $\text{ o}\left(x^r\right)=0$, ossia si ha

  $${\left(1+x\right)}^n=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)x^k.$$

  Ciò giustifica la formula di Newton (2.17). Sostituendo $x$ con $b∕a$ e moltiplicando i due membri per $a^n$ si trova

  $${\left(a+b\right)}^n=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)a^{n-k}{b}^k.$$

  Anche questa formula si chiama formula di Newton

2.7 Alcuni esercizi

1. Spiegare perché l’affermazione seguente è falsa: se $x_0$ non è punto di accumulazione di $A$, allora è punto isolato di $A$.
2. Usando opportuni esempi, provare che ambedue le affermazioni seguenti sono sbagliate: 1) la funzione $f\left(x\right)$ è continua in $x_0$ se $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f\left(x\right)$; 2) la funzione $f\left(x\right)$, definita in $x_0$, è continua in $x_0$ se $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f\left(x\right)$.
3. In ciascuna delle coppie di uguaglianze seguenti, una è corretta e l’altra sbagliata. Si spieghi il motivo.
   $$\left\{\begin{array}{c}\underset{x\to -\infty }{lim}log{x}^2=\underset{x\to -\infty }{lim}2logx\hfill \\ \underset{x\to -\infty }{lim}log{x}^2=\underset{x\to -\infty }{lim}2log\left|x\right|\hfill \end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}\underset{x\to -\infty }{lim}\sqrt{x^2}=\underset{x\to -\infty }{lim}2\sqrt{x}\hfill \\ \underset{x\to -\infty }{lim}\sqrt{x^2}=\underset{x\to -\infty }{lim}2\sqrt{\left|x\right|}.\hfill \end{array}\right.$$

   Se invece il limite è per $x\to +\infty$?

4. Sia
   $$p_n=1\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdots \frac{1}{n}.$$

   Mostrare che

   $$\underset{n\to +\infty }{lim}{p}_n=0.$$

5. Sia
   $$s_n=1+q+q^2+\cdots +q^n.$$

   Si studi $\underset{n\to +\infty }{lim}{s}_n$, per ogni valore del parametro reale $q$ (si ricordi la (1.6)).

6. Dire se esiste $f\left(x\right)$, definita su $ℝ$, positiva e con $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)<0$. Giustificare la risposta.
7. Si consideri l’insieme $A={\cup }_{n=2}^{+\infty }\left(1∕n,1∕\left(n-1\right)\right)$. Calcolare $supA$ ed $infA$ e trovare due successioni, $\left\{a_n\right\}$ e $\left\{b_n\right\}$, a valori in $A$ e tali che
   $$\underset{n\to +\infty }{lim}{a}_n=infA,\underset{n\to +\infty }{lim}{b}_n=supA.$$

8. L’insieme $A$ è ancora quello dell’esercizio 7. Si dica se si possono trovare successioni $\left\{a_n\right\}$ e $\left\{b_n\right\}$ per cui vale
   $$\underset{n\to +\infty }{lim}{a}_n=infA,\underset{n\to +\infty }{lim}{b}_n=supA$$

   ma che non prendono valori in $A$.

9. Sia $A$ l’insieme dell’esercizio 7 e sia $B=\left\{-1\right\}\cup A$. Dire se esistono successioni $\left\{a_n\right\}$ e $\left\{b_n\right\}$ a valori in $A$ e tali che
   $$\underset{n\to +\infty }{lim}{a}_n=infB,\underset{n\to +\infty }{lim}{b}_n=supB.$$

   Spiegare come cambia la risposta se invece si chiede che le successioni abbiano valori in $B$.

10. ($\star$)  Dire se esiste una funzione positiva, priva di limite per $x\to 0$ e illimitata in ogni intorno di $0$.
11. Tracciare qualitativamente il grafico della funzione
    $$f\left(x\right)=\frac{1}{\left[{sin}^{2}x\right]}$$

    ($\left[\cdot \right]$ indica la parte intera) e, se esiste, calcolarne il limite per $x\to +\infty$.

12. ($\star$)  Trovare una funzione pari ed una funzione dispari, limitate e prive di limite per $x\to 0$.
13. Mostrare che se $f\left(x\right)$ è pari e se $\underset{x\to 0+}{lim}f\left(x\right)=l$ allora si ha anche $\underset{x\to 0}{lim}f\left(x\right)=l$. Cosa accade se la funzione è dispari?
14. Dire se esiste una funzione periodica dotata di limite per $x\to +\infty$.
15. Sia $f\left(x\right)$ una funzione periodica tale che $\underset{x\to +\infty }{lim}\left|f\left(x\right)\right|=1$. Dire se $f\left(x\right)$ è costante.
16. Sia $f\left(x\right)$ una funzione dispari che ha un salto per $x=0$. Provare che $x=0$ è discontinuità eliminabile di $\left|f\left(x\right)\right|$.
17. Si trovi una funzione $f\left(x\right)$ definita su $\left[-1,1\right]$ e non costante, tale che
    $$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=1\text{per ogni }{x}_0\in \left[-1,1\right]\text{. }$$

18. ($\star$)  Si trovi una funzione definita su $\left(0,1\right]$, che ha infiniti punti di discontinuità e tale che $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=0$ per ogni $x_0\in \left(0,1\right]$.
19. ($\star$)  Dire se esiste una funzione illimitata su $\left(0,1\right]$ e tale che $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=0$ per ogni $x_0\in \left(0,1\right]$.
20. ($\star$)  Dire se esiste una funzione definita su $ℝ$, illimitata e tale che per ogni $x_0\in ℝ$ si abbia:
    $$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=1.$$

21. ($\star$)  Siano $f\left(x\right)$ e $g\left(x\right)$ definite su $\left[0,+\infty \right)$ e sia $f\left(x\right)>g\left(x\right)>0$. Si tracci il grafico della funzione $\varphi \left(x\right)$ tale che
    $$\varphi \left(2n\right)=g\left(2n\right),\varphi \left(2n+1\right)=f\left(2n+1\right)$$

    e il cui grafico negli altri punti è ottenuto congiungendo successivamente $\left(2n,\varphi \left(2n\right)\right)$ e $\left(2n+1,\varphi \left(2n+1\right)\right)$ mediante segmenti di retta. Quindi:

    1. supponiamo che $f$ sia un infinito di ordine superiore a $g$. Mostrare che non è vero che $\varphi$ è un infinito di ordine superiore a $g$.
    2. ($\star$)  Si faccia un esempio per provare che le disuguaglianze seguenti possono non valere nemmeno se le due funzioni $f\left(x\right)$ e $g\left(x\right)$ sono strettamente crescenti:

       $$g\left(x\right)\le \varphi \left(x\right)\le f\left(x\right);$$

       (2.19)

    3. ($\star$)  si mostri che le disuguaglianze (2.19) valgono se le due funzioni $f\left(x\right)$ e $g\left(x\right)$ sono convesse;
    4. si provi che se $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{lim}g\left(x\right)=\alpha$ (finito o meno) si ha anche $\underset{x\to +\infty }{lim}\varphi \left(x\right)=\alpha$ (l’asserto vale sempre, ma si prova più facilmente se le funzioni sono strettamente convesse);
    5. si provi che se $f\sim g$ allora si ha anche $\varphi \sim f$ e quindi $\varphi \sim g$ (l’asserto vale sempre, ma si prova più facilmente se le funzioni sono strettamente convesse).
    6. ($\star$)  Sia $f\left(x\right)>g\left(x\right)>0$ per $x>0$. Le due funzioni siano strettamente crescenti ed illimitate e valga, per $x\to +\infty$,
       $$f=\text{ o}\left(g\right).$$

       Sia $\varphi \left(x\right)=\sqrt{f\left(x\right)g\left(x\right)}$. Dire se è vero o meno che $\varphi =\text{ o}\left(f\right)$, $\varphi =\text{ o}\left(g\right)$, $f=\text{ o}\left(\varphi \right)$, $g=\text{ o}\left(\varphi \right)$ (sempre per $x\to +\infty$).

22. Sia $f\left(x\right)\sim x^n$ (per $x\to +\infty$). Si chiede se esiste un numero $c$ tale che, per $x\to +\infty$, sia $logf\left(x\right)-clogx=\text{ o}\left(1\right)$.
23. Trovare un esempio di funzione $f\left(x\right)$ tale che $f\left(x\right)=\text{ o}\left(x\right)$ (per $x\to 0$) ma per cui NON vale né $logf\left(x\right)=\text{ o}\left(logx\right)$ né $\frac{1}{logf\left(x\right)}=\text{ o}\left(\frac{1}{logx}\right)$ (suggerimento: si provi con le potenze).
24. Sia $f\left(x\right)$ definita su $ℝ$ e sia
    $$g\left(x\right)=max\left\{f\left(s\right)|s\le x\right\}.$$

    Si scelga come $f\left(x\right)$ una delle funzioni $-x^2$, $x^2$, $sinx$ e si tracci il grafico della corrispondente funzione $g\left(x\right)$.

25. Sia $f\left(x\right)$ continua su $ℝ$ e sia
    $$g\left(x\right)=max\left\{f\left(s\right)|s\le x\right\}.$$

    Si mostri che $g\left(x\right)$ è continua. Può essere che $g\left(x\right)$ sia continua anche se $f\left(x\right)$ non è continua? Si considerino i due casi $f\left(x\right)=\text{ sgn}\left(x\right)$ ed $f\left(x\right)=-\text{ sgn}\left(x\right)$.

26. ($\star$)  Per ogni $n>1$ si considerino le funzioni definite sull’intervallo $\left[0,1\right]$ come segue:
    $$f_n\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}0\hfill & \text{ se}\hfill & 0\le x\le 1∕n\hfill \\ n\hfill & \text{ se}\hfill & 1∕n<x<2∕n\hfill \\ 0\hfill & \text{ se}\hfill & 2∕n\le x\le 1.\hfill \end{array}\right.$$

    fissato $x\in \left[0,1\right]$, si consideri la successione di numeri $\left\{f_n\left(x\right)\right\}$. Si provi che questa converge a $0$ per ogni $x\in \left[0,1\right]$.

27. ($\star$)  Si trovi una funzione definita su $x>0$, iniettiva e tale che $\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=+\infty$ e tale che inoltre non esista $\underset{x\to +\infty }{lim}{f}^{-1}\left(x\right)$.

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Table 2.8: Regole di calcolo e forme indeterminate

Regole	$+\infty +\infty =+\infty$	$-\infty -\infty =-\infty$
	$\begin{array}{c}\left(+\infty \right)\left(+\infty \right)=+\infty \hfill \\ \left(-\infty \right)\left(-\infty \right)=+\infty \hfill \end{array}$	$\left(-\infty \right)\left(+\infty \right)=-\infty =\left(+\infty \right)\left(-\infty \right)$
	$\left|\frac{\pm \infty }{0}\right|=+\infty$	$\frac{0}{\pm \infty }=0$
	$\begin{array}{c}l+\left(+\infty \right)=l+\infty =+\infty \hfill \\ l+\left(-\infty \right)=l-\infty =-\infty \hfill \end{array}$	$l\left(+\infty \right)=\left\{\begin{array}{c}+\infty \text{se l}>\text{0}\hfill \\ -\infty \text{se l}<\text{0}\hfill \end{array}\right.$
	$\begin{array}{c}{0}^{+\infty }=0\hfill \\ 0^{-\infty }=+\infty \hfill \end{array}$	$\begin{array}{c}{\left(+\infty \right)}^{+\infty }=+\infty \hfill \\ {\left(+\infty \right)}^{-\infty }=0\hfill \end{array}$
$\begin{array}{c}\text{ Forme}\hfill \\ \text{ indeterminate}\hfill \end{array}$	$+\infty -\infty$	$0\cdot \left(\pm \infty \right)$
	$\frac{\pm \infty }{\pm \infty }$	$\frac{0}{0}$
	$0^0$ ${\left(+\infty \right)}^0$	$1^{\pm \infty }$

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Capitolo 3
Velocità, tangenti e derivate

Tutte le leggi sono dettate dall’esperienza, ma per enunciarle ci vuole un linguaggio speciale; il linguaggio ordinario è troppo povero e vago per esprimere dei rapporti cosìdelicati, ricchi e precisi. Ecco quindi una ragione perchè il fisico non possa ignorare la matematica. Henri Poincaré Il valore della scienza

In questo capitolo proseguiamo nello studio delle proprietà locali delle funzioni, studiandone la proprietà di derivabilità, suggerita dalla meccanica per il calcolo della velocità istantanea e dell’accelerazione istantanea, e dalla geometria per la definizione della retta tangente al grafico di una funzione.

3.1 La derivata

Supponiamo che un punto si muova lungo l’asse delle ascisse, e che all’istante $t$ la sua posizione sia $x\left(t\right)$. Abbiamo cioè una funzione $t\mapsto x\left(t\right)$ che rappresenta il moto del punto. fissiamo un intervallo di tempo di estremi $t_0$ e $t_0+h$ (a destra o a sinistra di $t_0$). Si chiama velocità media del punto su quest’intervallo il numero

$$\frac{x\left(t_0+h\right)-x\left(t_0\right)}{h}.$$

Può accadere che esista finito

$$\underset{h\to 0}{lim}\frac{x\left(t_0+h\right)-x\left(t_0\right)}{h}.$$

In fisica, questo numero si chiama “velocità istantanea” del punto all’istante $t_0$ e si indica col simbolo $v\left(t_0\right)$ oppure con uno dei simboli¹ $x^{\prime }\left(t_0\right)$ oppure $ẋ\left(t_0\right)$. Va detto subito che la velocità media esiste sempre, mentre la velocità istantanea può esistere o meno. Per esempio non esiste negli istanti nei quali si verificano degli urti. Se la velocità istantanea esiste per ogni valore di $t$, allora si può definire l’“accelerazione media” sull’intervallo di estremi $t_0$ e $t_0+h$ come

$$\frac{v\left(t_0+h\right)-v\left(t_0\right)}{h}.$$

Se il limite seguente esiste, questo si chiama l’“accelerazione istantanea” all’istante $t_0$:

$$\underset{h\to 0}{lim}\frac{v\left(t_0+h\right)-v\left(t_0\right)}{h}.$$

In ambedue i casi, si incontra quindi un rapporto con al numeratore l’incremento del valore di una funzione al passare del suo argomento da $t_0$, fissato, a $t_0+h$ e al denominatore l’incremento $h$ della variabile indipendente. L’incremento $h$ può essere positivo oppure negativo. Questo rapporto si chiama rapporto incrementale della funzione che si sta considerando; e del rapporto incrementale si deve fare il limite per $h\to 0$. Un problema analogo si incontra in geometria, quando si cerca di definire la tangente al grafico di una funzione $f\left(x\right)$ definita su un intervallo $\left[a,b\right]$. Sia $x_0\in \left(a,b\right)$. Si vuol definire la tangente al grafico della funzione nel punto $\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)$. Per questo consideriamo la secante che congiunge i due punti $\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)$, considerato fisso, e il punto $\left(x_0+h,f\left(x_0+h\right)\right)$, variabile sul grafico. Il coeffciente angolare della secante è

$$\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}$$

e quindi la secante è la retta

$$y=f\left(x_0\right)+\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}\left(x-x_0\right).$$

Se esiste il limite per $h\to 0$ di questi coefficienti angolari,

$$m_0=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h},$$

la retta

$$y=f\left(x_0\right)+m_0\left(x-x_0\right)$$

si chiama retta tangente al grafico di $f\left(x\right)$ nel punto $\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)$. Si veda la figura 3.1.

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figure 3.1: Una funzione (nella sonificazione: $f\left(x\right)=\left(x^2\right)∕2)$, alcune secanti (nella sonificazione: secante nel punto (1, 0.5)) e una tangente (rossa)

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Si vede da qui che il limite del rapporto incrementale compare in applicazioni diverse, e ce ne sono ancora molte altre. Quindi, questo limite va studiato in generale.

Definizione 90 Sia $f\left(x\right)$ definita su un intervallo $\left(a,b\right)$ e sia $x_0\in \left(a,b\right)$. Se esiste finito il numero

$$\underset{h\to 0}{lim}\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h},$$

questo si chiama la derivata della funzione $f\left(x\right)$ in $x_0$ e si indica con uno dei simboli

$$f^{\prime }\left(x_0\right),ḟ\left(x_0\right),D_{x_0}f,Df\left(x_0\right),\frac{\text{d}}{\text{d}x}f\left(x_0\right).$$

Un’altra notazione si vedrà più avanti. Il simbolo $\frac{\text{d}}{\text{d}x}f\left(x_0\right)$ è dovuto a Leibniz e ricorda che la derivata è il limite di un quoziente. NON è un quoziente e quindi il simbolo non indica una frazione. La notazione $\frac{\text{d}}{\text{d}x}$, di proposito evidenziata in colore, va letta come simbolo unico. Si osservi che la derivata deve essere un numero. Non può essere $+\infty$ oppure $-\infty$. Infatti, molte delle proprietà delle funzioni derivabili che vedremo NON valgono quando il limite del rapporto incrementale esiste, ma non è finito. Per esempio:

Teorema 91 Se la funzione $f\left(x\right)$ è derivabile in $x_0$ essa è continua in $x_0$.

Dim. Infatti,

$$f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)=h\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}.$$

Per ipotesi, il limite del rapporto incrementale esiste finito e quindi

$$0=\underset{h\to 0}{lim}h\left[\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}\right]=\underset{h\to 0}{lim}\left[f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)\right];$$

ossia, posto $x=x_0+h$ ed usando il teorema dei limiti delle funzioni composte,

$$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=f\left(x_0\right).■$$

Esempio 92 Il risultato precedente non vale se il limite del rapporto incrementale è $+\infty$. Per vederlo, si consideri la funzione $\text{ sgn}x$ in $x_0=0$. Essa è discontinua. Il limite del rapporto incrementale esiste, ma non è un numero:

$$\underset{h\to 0}{lim}\frac{\text{ sgn}h}{h}=+\infty .■$$

Un’altro punto a cui fare attenzione è questo: la derivata si definisce solo nei punti interni al dominio della funzione. Se $x_0=a$ oppure $x_0=b$ si possono studiare i due limiti

$$\underset{h\to 0+}{lim}\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h},\text{ oppure}\underset{h\to 0-}{lim}\frac{f\left(b+h\right)-f\left(b\right)}{h}.$$

Se uno dei limiti esiste², finito o meno, esso si chiama la derivata direzionale in $a$ oppure in $b$. La derivata direzionale si può talvolta definire anche in punti $x_0$ di non derivabilità. Se esiste, finito o meno, uno dei due limiti

$$\underset{h\to 0+}{lim}\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h},\text{ oppure}\underset{h\to 0-}{lim}\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}$$

questo si chiama la derivata direzionale,rispettivamente destra oppure sinistra, di $f\left(x\right)$ in $x_0$. La derivata direzionale destra o sinistra si indica con uno dei simboli

$$D_{+}f\left(x_0\right),f_{+}^{\prime }\left(x_0\right),D_{-}f\left(x_0\right),f_{-}^{\prime }\left(x_0\right).$$

Sottolineiamo che, a differenza della derivata, la derivata direzionale non è necessariamente finita.

Una dimostrazione del tutto analoga a quella del Teorema 91 mostra che:

Teorema 93 Se in $x_0\in \left[a,b\right]$ esiste finita la derivata destra (o sinistra) di $f\left(x\right)$, allora la funzione $f\left(x\right)$ è continua da destra (rispettivamente, da sinistra) in $x_0$.

Concludiamo con una definizione il cui interesse apparirà principalmente nei corsi successivi. Si chiama differenziale della funzione $f\left(x\right)$ in $x_0$ la funzione

$$h\mapsto f^{\prime }\left(x_0\right)h.$$

Questa trasformazione si indica spesso col simbolo $\text{d}f$. Il significato geometrico del differenziale è illustrato al paragrafo 3.2.

Esempio 94 Calcoliamo la derivata di alcune potenze. Se $f\left(x\right)\equiv c$, costante, allora $f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)=0$ per ogni $h$. Il rapporto incrementale è nullo e tale è il suo limite: la derivata di una funzione costante è nulla. Sia $f\left(x\right)=x$. Allora,

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{x-x_0}{x-x_0}=\underset{h\to 0}{lim}1=1.$$

Sia $f\left(x\right)=x^2$. Allora, $f\left(x\right)-f\left(x_0\right)=x-x_0^2=\left(x-x_0\right)\left(x+x_0\right)$. Dunque,

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\left[x+x_0\right]=2x_0.$$

In generale, si ricordi la formula per la somma dei primi $n$ termini di una progressione geometrica:

$$1+x+x^2+\cdots +x^{n-1}=\frac{1-x^n}{1-x}=\frac{x^n-1}{x-1}.$$

Si ha quindi

$$\begin{array}{ccc}\hfill & \frac{x^n-x_0^n}{x-x_0}=\frac{x_0^n}{x_0}\frac{1-{\left(x∕x_0\right)}^n}{1-\left(x∕x_0\right)}\hfill & \hfill \\ \hfill & =x_0^{n-1}\left(1+\left(x∕x_0\right)+{\left(x∕x_0\right)}^2+\cdots +{\left(x∕x_0\right)}^{n-1}\right).\hfill \end{array}$$

Gli addendi in parentesi sono in numero di $n$ e ciascuno di essi tende ad $1$ per $x\to x_0$. Dunque,

$$D_{x_0}{x}^n=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{x^n-x_0^n}{x-x_0}=n{x}_0^{n-1}.$$

Sia ora

$$f\left(x\right)=\frac{1}{x}.$$

Il rapporto incrementale in $x_0$ è

$$\frac{\left(1∕x\right)-\left(1∕x_0\right)}{x-x_0}=\frac{1}{x{x}_0}\frac{x_0-x}{x-x_0}=-\frac{1}{x{x}_0}$$

e quindi

$$D_{x_0}\frac{1}{x}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\left(1∕x\right)-\left(1∕x_0\right)}{x-x_0}=-\frac{1}{x_0^2}.■$$

3.1.1 La funzione derivata e le derivate successive

Ricordiamo che la derivata è un numero che si associa ad un punto $x_0$: $f^{\prime }\left(x_0\right)$. Può essere però che tale numero esista per ogni $x\in \left(a,b\right)$ o per ogni $x\in \left(a,c\right)\subseteq \left(a,b\right)$. In tal caso si costruisce una funzione

$$x\mapsto f^{\prime }\left(x\right)$$

che si chiama la funzione derivata di $f\left(x\right)$. Può accadere che la funzione derivata sia ulteriormente derivabile (come deve essere per definire l’accelerazione). In questo caso, si può calcolare il numero

$$\underset{h\to 0}{lim}\frac{f^{\prime }\left(x_0+h\right)-f^{\prime }\left(x_0\right)}{h}$$

che si chiama la derivata seconda di $f\left(x\right)$ in $x_0$. In questo contesto, la “derivata” si chiama anche derivata prima La derivata seconda si indica con uno dei simboli

$$f^{″}\left(x_0\right),D_{x_0}^{2}f,D^{2}f\left(x_0\right),\frac{{\text{d}}^2}{\text{d}{x}^2}f\left(x_0\right).$$

In meccanica, si usa anche il simbolo di Newton $\stackrel{..}{f}\left(x_0\right)$. Ovviamente:

Teorema 95 Se la funzione $f\left(x\right)$ ammette derivata seconda in ogni punto di $\left(a,b\right)$ allora sia $f\left(x\right)$ che $f^{\prime }\left(x\right)$ sono continue su $\left(a,b\right)$.

Quanto detto si può ora ripetere: se la derivata seconda esiste in ogni punto si può cercare di derivarla, definendo, se esiste, la derivata terza, quarta, $n$-ma ecc. Le derivate successive si indicano con i simboli

$$D_{x_0}^{n}f,D^{n}f\left(x_0\right),\frac{{\text{d}}^n}{\text{d}{x}^n}f\left(x_0\right).$$

Ovviamente, le notazioni con gli apostrofi o i punti non sono pratiche oltre al terzo ordine. In certe formule, conviene indicare la derivata $n$-ma in $x_0$ col simbolo

$$f^{\left(n\right)}\left(x_0\right)$$

e in questo contesto si definisce

$$f^{\left(0\right)}\left(x_0\right)=f\left(x_0\right).$$

Sottolineiamo che se esiste la derivata $n$-ma in ogni punto di $\left(a,b\right)$, esistono le derivate precedenti, e sono continue in ogni punto³ di $\left(a,b\right)$. Invece l’esistenza di $f^{\left(n\right)}\left(x\right)$ nel solo punto $x_0$ implica l’ esistenza della derivata $f^{\left(n-1\right)}\left(x\right)$ in un intorno di $I$ di $x_0$ e quindi le derivate precedenti a quella di ordine $n-1$ sono continue su $I$ mentre la $f^{\left(n-1\right)}\left(x\right)$ è continua in $x_0$ ma potrebbe essere discontinua in ogni altro punto. Una funzione che ammette le derivate fino all’ordine $n$ incluso su $\left(a,b\right)$, continue si dice di classe $C^n$ e si scrive⁴

$$f\in C^n\left(a,b\right).$$

Scrivendo

$$f\in C^0\left(a,b\right)\text{o anche }f\in C\left(a,b\right)$$

si intende dire che $f\left(x\right)$ è continua su $\left[a,b\right]$. Scrivendo $f\left(x\right)\in C^{\infty }\left(a,b\right)$ (leggi $f\left(x\right)$ di classe $C^{\infty }$ su $\left(a,b\right)$) si intende che la funzione ammette derivate di ogni ordine in ciascun punto di $\left(a,b\right)$.

3.2 La prima formula degli incrementi finiti

La sostituzione $h=x-x_0$ mostra che

$$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$$

ossia, essendo $f^{\prime }\left(x_0\right)$ un numero,

$$\underset{x\to x_0}{lim}\left\{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}-f^{\prime }\left(x_0\right)\right\}=0.$$

Dunque, usando il simbolo di Landau,

$$f\left(x\right)=f\left(x_0\right)+f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+\left(x-x_0\right)\text{ o}\left(1\right).$$

Ma,

$$\left(x-x_0\right)\text{ o}\left(1\right)=\text{ o}\left(x-x_0\right).$$

Dunque,

la derivata $f^{\prime }\left(x_0\right)$, se esiste, è quel numero $m$ tale che

$$f\left(x\right)=f\left(x_0\right)+m\left(x-x_0\right)+\text{ o}\left(x-x_0\right).$$

Dunque, $f^{\prime }\left(x_0\right)$ verifica

$$f\left(x\right)=f\left(x_0\right)+f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+\text{ o}\left(x-x_0\right).$$

Questa formula si chiama prima formula degli incrementi finiti Viceversa, se esiste $m\in ℝ$ tale che

$$f\left(x\right)=f\left(x_0\right)+m\left(x-x_0\right)+\text{ o}\left(x-x_0\right)$$

(3.1)

allora

$$m=\underset{x\to x_0}{lim}\left[\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}+\frac{\text{ o}\left(x-x_0\right)}{x-x_0}\right]=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=f^{\prime }\left(x_0\right).$$

Quindi, la prima formula degli incrementi finiti è anche una equivalente definizione di derivata: la derivata è quel numero $m$ per il quale è verificata l’uguaglianza (3.1). Ciò ha una conseguenza utile per il calcolo di certe derivate:

Teorema 96 Sia $f\left(x\right)$ definita in un intorno di $x_0$. Se per $x\to x_0$ vale

$$f\left(x\right)-f\left(x_0\right)=\text{ o}\left(x-x_0\right)$$

(3.2)

allora $f^{\prime }\left(x_0\right)$ esiste e

$$f^{\prime }\left(x_0\right)=0.$$

Dim. Infatti, la (3.2) coincide con la prima formula degli incrementi finiti (3.1) scritta con $m=0$.  $■$

Nella prima formula degli incrementi finiti compare la funzione

$$\left(x-x_0\right)\to f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)$$

che abbiamo chiamato il differenziale della funzione $f\left(x\right)$ in $x_0$. La prima formula degli incrementi finiti combinata con l’equazione della retta tangente al grafico di $f\left(x\right)$ in $\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)$, ossia

$$y=f\left(x_0\right)+f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right),$$

mostra il significato geometrico del differenziale: $f\left(x\right)-f\left(x_0\right)$ è l’incremento della quota del punto del grafico della funzione, quando si passa da $x_0$ ad $x$. Invece,

$$f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)=\left\{f\left(x_0\right)+f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)\right\}-f\left(x_0\right).$$

Dunque, il differenziale indica l’incremento dell’ordinata del punto della tangente quando ci si sposta da $x_0$ ad $x$ e questo incremento differisce dal corrispondente incremento di ordinata sul grafico della funzione per infinitesimi di ordine superiore al primo rispetto ad $h=\left(x-x_0\right)$, ossia rispetto all’incremento $h$ dato all’ascissa. Ciò è illustrato in figura 3.2.

---

figure 3.2: Significato geometrico del differenziale Sono rappresentati in figura il grafico della funzione $f$ e la retta tangente al grafico della funzione $f$ nel punto $(x_0,f(x_0\left)\right).$ Considerata la retta $x=x_0+h,$ essa interseca la retta tangente nel punto $(x_0+h,f\text{'}(x_0\left)h\right)$ e il grafico della funzione $f$ nel punto $(x_0+h,f(x_0+h\left)\right).$ La differenza tra le ordinate di tali punti è trascurabile rispetto a $h$ .

---

3.3 Regole di calcolo per le derivate prime

Ci sono quattro regole per il calcolo delle derivate: la derivata della somma, del prodotto, della funzione composta e della funzione inversa. Inoltre, esiste una formula per la derivata di un quoziente, che si ottiene dalle precedenti.

Derivata di una somma Il limite di una somma è uguale alla somma dei limiti (quando ambedue esistono finiti). Dunque, se $f$ e $g$ sono derivabili in $x_0$ vale

$$D_{x_0}\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=f^{\prime }\left(x_0\right)+g^{\prime }\left(x_0\right).$$

Derivata del prodotto La formula per la derivata del prodotto si chiama formula di Leibniz e si vede meglio partendo dalla prima formula degli incrementi finiti. Se $f\left(x\right)$ e $g\left(x\right)$ sono derivabili in $x_0$ vale⁵

$$\begin{array}{ccc}\hfill & \hfill & \hfill f\left(x\right)=f\left(x_0\right)+f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+{\text{ o}}_1\left(x-x_0\right),\\ \hfill & \hfill & \hfill g\left(x\right)=g\left(x_0\right)+g^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+{\text{ o}}_2\left(x-x_0\right).\end{array}$$

Moltiplicando membro a membro si ha

$$\begin{array}{ccc}\hfill & \hfill & \hfill f\left(x\right)g\left(x\right)=f\left(x_0\right)g\left(x_0\right)+\left[f^{\prime }\left(x_0\right)g\left(x_0\right)+f\left(x_0\right)g^{\prime }\left(x_0\right)\right]\left(x-x_0\right)\\ \hfill & \hfill & \hfill +\left\{\left[f\left(x_0\right)+f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)\right]{\text{ o}}_2\left(x-x_0\right)\right.& \hfill \\ \hfill & \hfill & \hfill +\left[g\left(x_0\right)+g^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)\right]{\text{ o}}_1\left(x-x_0\right)& \hfill \\ \hfill & \hfill & \hfill \left.+f^{\prime }\left(x_0\right)g^{\prime }\left(x_0\right){\left(x-x_0\right)}^2+{\text{ o}}_1\left(x-x_0\right){\text{ o}}_2\left(x-x_0\right)\right\}.\end{array}$$

La parentesi graffa è $\text{ o}\left(x-x_0\right)$ e quindi

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)g\left(x\right)-f\left(x_0\right)g\left(x_0\right)}{\left(x-x_0\right)}=f^{\prime }\left(x_0\right)g\left(x_0\right)+f\left(x_0\right)g^{\prime }\left(x_0\right).$$

Vale quindi la formula di Leibniz

$$D_{x_0}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)=f^{\prime }\left(x_0\right)g\left(x_0\right)+f\left(x_0\right)g^{\prime }\left(x_0\right).$$

Supponiamo che $g\left(x\right)\equiv c$ sia costante. Allora,

$$g^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{g\left(x_0+h\right)-g\left(x_0\right)}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{c-c}{h}=0.$$

Dunque,

$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(cf\left(x_0\right)\right)=c{f}^{\prime }\left(x_0\right).$$

Combinando quest’osservazione con la regola di derivazione della somma, si trova:

quando $a$ e $b$ sono numeri

$$D_{x_0}\left(af\left(x\right)+bg\left(x\right)\right)=a{f}^{\prime }\left(x_0\right)+b{g}^{\prime }\left(x_0\right).$$

Questa regola si chiama linearità della derivata.

Derivata della funzione composta Siano ora $f\left(x\right)$ e $g\left(x\right)$ due funzioni e supponiamo che la funzione composta $f\left(g\left(x\right)\right)$ sia definita su un intervallo $\left(a,b\right)$. Sia $x_0\in \left(a,b\right)$ e supponiamo che $g\left(x\right)$ sia derivabile in $x_0$ mentre $f\left(x\right)$ sia derivabile in $y_0=g\left(x_0\right)$. Allora vale

$$D_{x_0}f\left(g\left(x\right)\right)=f^{\prime }\left(g\left(x_0\right)\right)g^{\prime }\left(x_0\right).$$

I colori sono stati usati per evidenziare il fatto che la derivata della funzione composta si calcola iniziando col derivare la funzione più esterna. La dimostrazione è semplice: per ipotesi valgono le due formule degli incrementi finiti

$$\begin{array}{ccc}\hfill & \hfill & \hfill g\left(x\right)=g\left(x_0\right)+g^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+\text{ o}\left(x-x_0\right)\\ \hfill & \hfill & \hfill f\left(y\right)=f\left(y_0\right)+f^{\prime }\left(y_0\right)\left(y-y_0\right)+\text{ o}\left(y-y_0\right)\end{array}$$

e inoltre

$$y_0=g\left(x_0\right)$$

Si tenga conto di ciò e si sostituisca $y$ con $g\left(x\right)$. Si trova

$$\begin{array}{ccc}\hfill & \hfill & \hfill f\left(g\left(x\right)\right)=f\left(g\left(x_0\right)\right)+f^{\prime }\left(g\left(x_0\right)\right)g^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)\\ \hfill & \hfill & \hfill +\left\{f^{\prime }\left(y_0\right)\text{ o}\left(x-x_0\right)+\text{ o}\left(y-y_0\right)\right\}.\end{array}$$

E’

$$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\text{ o}\left(y-y_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\text{ o}\left(y-y_0\right)}{y-y_0}\frac{y-y_0}{x-x_0}=0.$$

Dunque, la parentesi graffa è $\text{ o}\left(x-x_0\right)$ e la prima formula degli incrementi finiti vale in $x_0$ per $f\left(g\left(x\right)\right)$, con coeffciente

$$f^{\prime }\left(g\left(x_0\right)\right)g^{\prime }\left(x_0\right),$$

che è quindi la derivata della funzione composta:

$$D_{x_0}f\left(g\left(x\right)\right)=f^{\prime }\left(g\left(x_0\right)\right)g^{\prime }\left(x_0\right).$$

Esempio 97 Ricordiamo che

$$D_{x_0}\frac{1}{x}=-\frac{1}{x_0^2}.$$

Consideriamo ora $h\left(x\right)=1∕x$ e una generica funzione $g\left(x\right)$ derivabile e non nulla in $x_0$. Sia $\varphi \left(x\right)=h\left(g\left(x\right)\right)=1∕g\left(x\right)$. La formula di derivazione della funzione composta dà:

$$D_{x_0}\frac{1}{g\left(x\right)}=-\frac{1}{g^2\left(x_0\right)}{g}^{\prime }\left(x_0\right).■$$

Combinando il caso visto nell’Esempio 97 con la formula di derivazione del prodotto si trova:

$$D_{x_0}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{f^{\prime }\left(x_0\right)g\left(x_0\right)-f\left(x_0\right)g^{\prime }\left(x_0\right)}{g^2\left(x_0\right)}.$$

Si usi questa formula per provare che

$$Dtanx=\frac{1}{{cos}^{2}x}=1+{tan}^{2}x$$

e si calcoli la formula analoga per $cotx$ e per le corrispondenti funzioni iperboliche.

Esempio 98 Si sa, dalla tabella 2.4, che

$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}log\left|x\right|=\frac{1}{x}$$

(ovviamente se $x\ne 0$). Dunque, se $f\left(x\right)$ è derivabile e non nulla,

$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}log\left|f\left(x\right)\right|=\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}.$$

Applicando questa formula alla funzione $f\left(x\right)=tanx$ si trova

$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}log|tan\left(x∕2\right)|=\frac{1}{sinx}.$$

Ovviamente questa formula vale se $x\ne k\pi +\pi ∕2$, perchè in questi punti $tanx$ non è definita, e se $x\ne k\pi$ perché in tali punti si annulla la derivata. Ricordando che

$$cosx=sin\left(x+\pi \right)$$

si trovi una funzione la cui derivata è $1∕cosx$. Queste formule sono utili nel calcolo delle primitive.  $■$

Derivata della funzione inversa La regola per il calcolo della derivata della funzione inversa è più complicata e richiede un’ipotesi in più: si deve avere una funzione $f\left(x\right)$ iniettiva e continua su un intervallo $\left(a,b\right)$. Inoltre, la funzione deve essere derivabile in $x_0\in \left(a,b\right)$ e deve essere $f^{\prime }\left(x_0\right)\ne 0$. Sia $f^{-1}\left(y\right)$ la funzione inversa di $f\left(x\right)$ e sia $y_0=f\left(x_0\right)$. Sotto queste condizioni vale la formula:

$$D_{y_0}{f}^{-1}\left(y\right)=\frac{1}{f^{\prime }\left(x_0\right)},y_0=f\left(x_0\right)\text{ ossia}{x}_0=f^{-1}\left(y_0\right).$$

Limitiamoci ad illustrare geometricamente questa formula. Ricordiamo che il grafico di una funzione e della sua funzione inversa devono partire ambedue dall’asse delle ascisse e che l’uno è il simmetrico dell’altro rispetto alla prima bisettrice. Le tangenti, quindi, sono simmetriche rispetto alla prima bisettrice. Sia $y=y_0+m\left(x-x_0\right)$ una retta passante per $\left(x_0,y_0\right)$. La sua simmetrica rispetto alla prima bisettrice ha coeffciente angolare $1∕m$. E ora ricordiamo che il coeffciente angolare della tangente, quando essa non è verticale, è la derivata della funzione nel punto che stiamo considerando. Questi argomenti sono illustrati in figure 3.3.

---

figure 3.3: Derivata della funzione inversa

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Vediamo come si usa questa regola per calcolare la derivata della funzione $arctanx$, funzione inversa della restrizione a $\left(-\pi ∕2,\pi ∕2\right)$ della funzione $tanx$. E’:

$$Dtanx=1+{tan}^{2}x.$$

Se $y_0=tan{x}_0$, la derivata di $arctanx$ in $y_0$ è

$$\frac{1}{D_{x_0}tanx}=\frac{1}{1+{tan}^2{x}_0}=\frac{1}{1+y_0^2}.$$

La tabella 3.1 riassume le regole di derivazione ed elenca le derivate principali che vanno ricordate. Le regole di calcolo sono state appena dimostrate mentre le formule delle derivate fondamentali si deducono dai limiti notevoli, combinati con le regole di calcolo. Notiamo che la tabella non riporta una formula per la derivata di $f{\left(x\right)}^{g\left(x\right)}$, perché invece di ricordare questa formula conviene notare che

$$f{\left(x\right)}^{g\left(x\right)}=e^{g\left(x\right)logf\left(x\right)}.$$

La derivata dell’espressione a destra si calcola semplicemente usando la regola di derivazione delle funzioni composte e quella del prodotto.

Table 3.1: Derivate fondamentali e regole di calcolo

$$\begin{array}{|cc|}\hline funzioni& derivata\\ $ D_{x_0}\left(hf\left(x\right)+kg\left(x\right)\right)$& $ h{f}^{\prime }\left(x_0\right)+k{g}^{\prime }\left(x_0\right)$\\ $ D_{x_0}f\left(x\right)g\left(x\right)$& $ f^{\prime }\left(x_0\right)g\left(x_0\right)+f\left(x_0\right)g^{\prime }\left(x_0\right)$\\ $ D_{x_0}f\left(g\left(x\right)\right)$& $ f^{\prime }\left(g\left(x_0\right)\right)g^{\prime }\left(x_0\right)$\\ $ D_{y_0}{f}^{-1}\left(x\right)$& $ \frac{1}{f^{\prime }\left(f^{-1}\left(y_0\right)\right)}$\\ $ D_{x_0}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$& $ \frac{f^{\prime }\left(x_0\right)g\left(x_0\right)-f\left(x_0\right)g^{\prime }\left(x_0\right)}{g^2\left(x_0\right)}$\\ $ D_{x_0}log\left|f\left(x\right)\right|$& $ \frac{f^{\prime }\left(x_0\right)}{f\left(x_0\right)}$\\ \hline\end{array}$$ $$\begin{array}{|cc|}\hline funzione& derivata\\ $ x^a$& $ a{x}^{a-1}$\\ $ D_{x_0}\left|x\right|$& $ \frac{x_0}{\left|x_0\right|}$\\ $ sinx$& $ cosx$\\ $ cosx$& $ -sinx$\\ $ tanx$& $ \frac{1}{{cos}^{2}x}=1+{tan}^{2}x$\\ $ cotx$& $ \frac{-1}{{sin}^{2}x}=-1-{cot}^{2}x$\\ \hline\end{array}$$ $$\begin{array}{|cc|}\hline funzione& derivata\\ $ arcsinx$& $ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$\\ $ arccosx$& $ -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$\\ $ arctanx$& $ \frac{1}{1+x^2}$\\ $ \text{ arccotan}x$& $ -\frac{1}{1+x^2}$\\ $ e^x$& $ e^x$\\ $ log\left|x\right|$& $ 1∕x$\\ $ sinhx$& $ coshx$\\ $ coshx$& $ sinhx$\\ $ tanhx$& $ \frac{1}{{cosh}^{2}x}=1-{tanh}^{2}x$\\ $ \text{ sett sh}x$& $ \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$\\ $ \text{ sett ch}x$& $ \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$\\ $ \text{ sett th}x$& $ \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$\\ $ \text{ sett th}x$& $ \frac{1}{1-x^2}$\\ $ \text{ sett cth}x$& $ \frac{1}{1-x^2}$\\ \hline\end{array}$$

3.4 Notazioni usate nei corsi di fisica

Nei corsi di fisica, e in generale nei corsi a carattere più applicativo, sembra a prima vista che le notazioni sulle derivate vengano usate in modo alquanto “libero”. Per esempio, si trova che

$$\frac{\text{d}f}{\text{d}x}=g\text{viene scritto}\text{d}f=g\text{d}x.$$

In realtà non si tratta di abusi, ma questi procedimenti tengono nascosti alcuni passaggi che è bene chiarire. Prima di tutto va detto che il simbolo $\text{d}$ in questo contesto viene usato per indicare la derivata, al posto del simbolo $D$ (cosa che noi faremo al Cap. 4, nel contesto della ricerca delle primitive). Nelle applicazioni, si sottintende il fatto che la $x$ è a sua volta funzione di una ulteriore variabile, diciamo $t$, che non viene indicata. Allora,

$$\text{d}f=\frac{\text{d}f\left(x\left(t\right)\right)}{\text{d}t}=f^{\prime }\left(x\left(t\right)\right)x^{\prime }\left(t\right)=g\left(t\right)x^{\prime }\left(t\right)$$

che, con la notazione $\text{d}$ per indicare la derivata e sottintendendo⁶ la variabile $t$, si scrive appunto

$$\text{d}f=g\text{d}x.$$

Un (apparente) abuso di notazioni analogo si incontra anche nell’uso del differenziale. Ricordiamo che il differenziale di $f\left(x\right)$ in $x_0$ è la trasformazione

$$h\mapsto f^{\prime }\left(x_0\right)h.$$

Questa trasformazione si indica anche col simbolo $\text{d}f$:

$$\text{d}f\left(x_0\right)h=f^{\prime }\left(x_0\right)h.$$

Nel caso particolare della funzione $g\left(x\right)=x$ la sua trasformazione differenziale è

$$\text{d}x=h$$

e ciò suggerisce di scrivere la trasformazione differenziale di $f$ come

$$\text{d}f\text{d}x$$

(ossia, $\text{d}f\left(x_0\right)\text{d}x=f^{\prime }\left(x_0\right)\text{d}x=f^{\prime }\left(x_0\right)h$, ma usualmente $x_0$ si sottintende). L’utilità di questa notazione dipende ancora dal fatto che in fisica $x$ è funzione di una sottintesa variabile $t$ e quindi

$$\text{d}f\text{d}x=f^{\prime }\left(x\left(t\right)\right)x^{\prime }\left(t\right)\text{d}t$$

è un modo veloce di scrivere il differenziale della funzione composta. Ulteriori apparenti abusi di notazione⁷, analoghi ai precedenti, si incontrano quando si devono usare funzioni di più variabili, e verranno spiegati al paragrafo 8.4 e nel corso di Analisi Matematica 2.

3.5 Derivate ed ordine dei numeri reali

Sia $f\left(x\right)$ una funzione derivabile su $\left(a,b\right)$. La relazione di ordine dei numeri reali conduce alla definizione di funzione monotona e, per mezzo della regola dei segni del prodotto, alla definizione di funzioni pari e dispari⁸. Ricordiamo che $f\left(x\right)$ è crescente su $\left(a,b\right)$ quando

$$\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}\ge 0\forall x,x_0\in \left(a,b\right)x\ne x_0.$$

Passando al limite per $x\to x_0$ si trova che $f^{\prime }\left(x_0\right)\ge 0$ e ciò vale per ogni $x_0\in \left(a,b\right)$. Trattando in modo analogo le funzioni decrescenti si trova:

Teorema 99 Se $f\left(x\right)$ è derivabile e crescente (non necessariamente in senso stretto) su $\left(a,b\right)$ allora $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0$ per ogni $x\in \left(a,b\right)$; Se $f\left(x\right)$ è derivabile e decrescente (non necessariamente in senso stretto) su $\left(a,b\right)$ allora $f^{\prime }\left(x\right)\le 0$ per ogni $x\in \left(a,b\right)$.

Osservazione 100 E’ opportuno notare gli esempi seguenti:

• la derivata può annullarsi in un punto anche se la funzione è strettamente monotona: la funzione $f\left(x\right)=x^3$ è derivabile e strettamente crescente su $ℝ$ ma $f^{\prime }\left(0\right)=0$.
• la derivata può essere positiva in un punto senza che la funzione sia monotona in nessun intorno del punto. Un esempio si può costruire in questo modo: Sia $g\left(x\right)=x^{2}sin\left(1∕x\right)$ per $x\ne 0$ e $g\left(0\right)=0$. Notando che $g\left(x\right)-g\left(0\right)=\text{ o}\left(x\right)$ si vede che $g^{\prime }\left(0\right)=0$. Se $f\left(x\right)=\left(1∕2\right)x+g\left(x\right)$ allora $f^{\prime }\left(0\right)=1∕2>0$. La funzione $f\left(x\right)$ non è crescente su nessun intervallo $\left(-𝜖,𝜖\right)$. Infatti, se fosse crescente la sua derivata dovrebbe essere non negativa su tale intervallo. Invece, per $x\ne 0$ si ha
  $$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{2}+2xsin\left(1∕x\right)-cos\left(1∕x\right)\text{e quindi }{f}^{\prime }\left(x\right)=-1∕2\text{ se }x=1∕2k\pi \text{.}$$

  La figura 3.4 riporta il grafico di questa funzione.  $■$

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figure 3.4: Il grafico della funzione $f\left(x\right)=\left(1∕2\right)x+x^{2}sin\left(1∕x\right)$ per $x\ne 0$, $f\left(0\right)=0$ (link)

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Il problema della relazione tra derivata e monotonia verrà ripreso al Cap. 4. Consideriamo ora la relazione tra parità e derivata. Sia $f\left(x\right)$ derivabile si $\left(-a,a\right)$. Vale:

$$\begin{array}{ccc}\hfill & \hfill & \hfill \text{la funzione è pari se }f\left(x\right)=f\left(-x\right)\text{;}\\ \hfill & \hfill & \hfill \text{la funzione è dispari se }f\left(x\right)=-f\left(-x\right)\text{.}\end{array}$$

Derivando i due membri mediante il teorema della funzione composta si trova

$$\begin{array}{ccc}\hfill & \hfill & \hfill \text{se la funzione è pari: }{f}^{\prime }\left(x\right)=-f^{\prime }\left(-x\right)\text{;}\\ \hfill & \hfill & \hfill \text{se la funzione è dispari: }{f}^{\prime }\left(x\right)=f^{\prime }\left(-x\right)\text{.}\end{array}$$

Dunque si ha:

Teorema 101 Sia $f\left(x\right)\in C^{\infty }\left(ℝ\right)$. Se $f\left(x\right)$ è pari oppure dispari, le sue derivate di ordine pari hanno la stessa parità di $f\left(x\right)$, quelle di ordine dispari hanno parità opposta.

Una funzione dispari deve annullarsi in $x_0=0$. Vale quindi:

Teorema 102 La derivata in $x_0=0$ di una funzione pari è nulla e quindi se $f\left(x\right)\in C^{\infty }\left(ℝ\right)$ è pari tutte le sue derivate di ordine dispari sono nulle in $x_0=0$; se $f\left(x\right)$ è dispari tutte le sue derivate di ordine pari sono nulle in $x_0$.

E’ interessante vedere l’interpretazione geometrica del Teorema 101 notando che le secanti in punti corrispondenti del grafico sono parallele, e quindi hanno la stessa pendenza, nel caso di funzioni dispari; hanno pendenza opposta nel caso di funzioni pari, come illustrato nella figura 3.5. Tale relazione si conserva passando al limite dei rapporti incrementali, ossia si conserva per le derivate.

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figure 3.5: Grafici e secanti di funzioni pari e dispari. funzione pari; secanti della funzione pari; funzione dispari; prima secante della funzione dispari; seconda secante della funzione dispari

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3.5.1 Il teorema di Fermat ed i punti di estremo

Consideriamo una funzione $f\left(x\right)$ definita su un intervallo $\left(a,b\right)$ e sia $x_0\in \left(a,b\right)$. punto importante da sottolineare: $x_0$ è interno all’intervallo. NON è uno degli estremi. Vale il teorema seguente:

Teorema 103 (di Fermat) Se:

• $f\left(x\right)$ è definita in $\left(a,b\right)$;
• $x_0\in \left(a,b\right)$ è punto di massimo oppure di minimo locale di $f\left(x\right)$
• la funzione $f\left(x\right)$ è derivabile in $x_0$,

allora $f^{\prime }\left(x_0\right)=0$.

Dim. Per assurdo, sia

$$f^{\prime }\left(x_0\right)>0,f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}.$$

Il teorema di permanenza del segno asserisce che esiste $\delta >0$ tale che

$$-\delta <h<\delta \Rightarrow \frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}>0,$$

ossia,

$$f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)\text{ ed }h\text{ hanno segno concorde.}$$

Dunque, se $h>0$ vale $f\left(x_0+h\right)>f\left(x_0\right)$ mentre se $h<0$ vale $f\left(x_0+h\right)<f\left(x_0\right)$ e quindi $f\left(x_0\right)$ non è né punto di massimo né punto di minimo di $f\left(x\right)$. Il caso $f^{\prime }\left(x_0\right)<0$ si tratta in modo analogo.  $■$

L’interpretazione geometrica di questo teorema: ricordiamo che $f^{\prime }\left(x_0\right)$ è la pendenza della tangente al grafico della funzione nel punto $\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)$. Dunque, se esiste la tangente al grafico di $f\left(x\right)$ in $\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)$ ed $x_0$ è un punto di massimo o di minimo INTERNO AL DOMINIO DELLA FUNZIONE, la tangente è orizzontale.

Osservazione 104 Il teorema di Fermat NON si applica alle derivate direzionali. La funzione $f\left(x\right)=\sqrt{1-x^2}$, definita su $\left[-1,1\right]$, ha minimo nei punti $-1$ e $+1$. Le derivate direzionali in tali punti non sono nulle; anzi sono $+\infty$ e $-\infty$. La funzione $f\left(x\right)=x$ definita su $\left[0,1\right]$ ha minimo in $x=0$ e massimo in $x=1$. Le derivate direzionali in ambedue questi punti valgono $1$.  $■$

Il teorema di Fermat ha questa conseguenza importante:

i punti di massimo e di minimo relativo di una funzione vanno cercati tra i punti nei quali la derivata prima non esiste; i punti nei quali la derivata prima si annulla e, se ivi definita, gli estremi del dominio della funzione.

Vediamo alcuni esempi:

Esempio 105 Sia $f\left(x\right)=\left|x\right|$, definita su $\left[-1,1\right]$. La funzione non è derivabile in $x=0$ e, dove derivabile, ha derivata

$$f^{\prime }\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}+1\hfill & \text{ se}\hfill & x>0\hfill \\ -1\hfill & \text{ se}\hfill & x<0.\hfill \end{array}\right.$$

Dunque, $f^{\prime }\left(x\right)$ non si annulla mai. Quindi, i punti di massimo e di minimo vanno ricercati tra i punti $-1$, $0$, $+1$ . Sia invece $f\left(x\right)=x^2$, $f^{\prime }\left(x\right)=2x$, definita su $ℝ$. La derivata si annulla nel solo punto $x=0$ e quindi la funzione ha al più un solo punto o di massimo o di minimo, nel punto $x=0$. Nel caso specifico $x=0$ è punto di minimo ma questo non si deduce dall’annularsi della derivata prima. Infatti:

• la funzione $f\left(x\right)=-x^2$ ha nulla la derivata nel solo punto $x=0$ che però ora è un punto di massimo;
• Non è detto che la condizione $f^{\prime }\left(x_0\right)=0$ implichi che $x_0$ è punto di massimo o di minimo. Per esempio la funzione $f\left(x\right)=x^3$, definita su $ℝ$, ha derivata $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2$, nulla per $x=0$. Il punto $x=0$ non è né punto di massimo né punto di minimo di $f\left(x\right)$ perché $x^3<0$ per $x<0$ mentre $x^3>0$ per $x>0$.  $■$

I punti nei quali si annulla la derivata prima si chiamano punti estremali oppure punti stazionari oppure punti critici della funzione. Il teorema di Fermat asserisce che i punti di massimo o di minimo (assoluto o relativo) di una funzione sono punti estremali quando: 1) sono punti interni al dominio; 2) la funzione è derivabile in tali punti.

3.6 Osservazione finale ed importante

Si è insistito sul fatto che la derivata si definisce nei punti interni. Quindi, quando si afferma l’esistenza di $f^{\prime }\left(x_0\right)$ implicitamente si afferma anche che la funzione $f\left(x\right)$ è definita in un intorno di $x_0$ ed inoltre, dal teorema 91, la funzione $f\left(x\right)$ è continua in $x_0$. Potrebbe essere discontinua in ogni altro punto. Vediamo la conseguenza di queste osservazioni sulle derivate successive. Affermando che esiste $f^{″}\left(x_0\right)$ implicitamente si afferma che esiste $f^{\prime }\left(x\right)$ e quindi anche $f\left(x\right)$ in un intorno di $x_0$. La funzione $f^{\prime }\left(x\right)$ deve essere continua in $x_0$ per il teorema 91. L’esistenza di $f^{\prime }\left(x\right)$ in ogni punto di un intorno di $x_0$ implica che $f\left(x\right)$ è continua in tale intorno. Queste osservazioni si ripetono per le derivate successive: se esiste $f^{\left(n\right)}\left(x_0\right)$ allora $f^{\left(n-1\right)}\left(x_0\right)$ è definita in un intorno di $x_0$ (ed è continua in $x_0$); tutte le derivate precedenti sono definite e continue in tale intorno.

3.7 Alcuni esercizi

1. 1. Un punto materiale si muove con velocità costante di $0,1$ $\text{ m}∕\text{ sec}$. Calcolarne la velocità in centimetri al secondo.
   2. Un punto materiale si muove con accelerazione costante di $0,01$ $\text{ m}∕{\text{ sec}}^2$. Calcolarne l’accelerazione in centimetri al secondo per secondo.
   3. la legge del moto del punto suddetto è $x\left(t\right)$ quando le lunghezze si misurano in metri e $\xi \left(t\right)$ quando si misurano in centimetri. E’ quindi $\xi \left(t\right)=100x\left(t\right)$. Ritrovare i risultati precedenti sulla velocità e accelerazione usando linearità della derivata.
2. 1. Un punto materiale si muove con velocità costante di $0,1$ $\text{ m}∕\text{ sec}$. Calcolarne la velocità in metri al minuto.
   2. Un punto materiale si muove con accelerazione costante di $0,01$ $\text{ m}∕{\text{ sec}}^2$. Calcolarne l’accelerazione in metri al minuto per minuto.
   3. la legge del moto del punto suddetto è $x\left(t\right)$ quando il tempo si misura in secondi e $\xi \left(\tau \right)$ quando il tempo si misura in minuti. E’ quindi $\xi \left(\tau \right)=x\left(60\tau \right)$. Ritrovare i risultati precedenti sulla velocità e accelerazione usando la regola di derivazione della funzione composta.
3. Le regole di derivazione mostrano che per ogni numero reale $a$ vale
   $$\frac{\text{d}}{\text{d}x}sinax=acosax,\frac{\text{d}}{\text{d}x}{e}^{ax}=a{e}^{ax}$$

   e simili. Invece,

   $$\frac{\text{d}}{\text{d}x}logax=\frac{1}{x}$$

   (si ha qui $a>0$ ed $x>0$). Dunque, in questo caso il fattore moltiplicativo $a$ “non ha effetto” sul calcolo della derivata. Spiegare il motivo usando le regole di calcolo dei logaritmi.

4. Sia $f\left(x\right)$ una funzione derivabile. Dare condizioni per la derivabilità di $\left|f\left(x\right)\right|$ in $x_0$, sia quando $f\left(x_0\right)\ne 0$ che quando $f\left(x_0\right)=0$. Ha qualche interesse sapere se $x_0$ è nullo?
5. Si è visto che che se $f\left(x\right)$ è pari e derivabile allora $f^{\prime }\left(x\right)$ è dispari; se $f\left(x\right)$ è dispari e derivabile allora $f^{\prime }\left(x\right)$ è pari. Si illustri il significato di questa proprietà tracciando i grafici di due funzioni, una pari e una dispari, e disegnando alcune tangenti. Ossia, si considerino le figure 3.7 in alcuni casi concreti.
6. ($\star$)  Si mostri che se $f\left(x\right)$ è una funzione derivabile per cui $f\left(x\right)=f\left(1∕x\right)$ allora $f^{\prime }\left(x\right)$ verifica

   $$x^2{f}^{\prime }\left(x\right)=-f^{\prime }\left(\frac{1}{x}\right);$$

   (3.3)

   se $g\left(x\right)$ è una funzione derivabile per cui $g\left(x\right)=-g\left(-1∕x\right)$ allora $g^{\prime }\left(x\right)$ verifica

   $$x^2{g}^{\prime }\left(x\right)=-g^{\prime }\left(-\frac{1}{x}\right).$$

   (3.4)

   Si verifichi che le funzioni

   $$f\left(x\right)=\left(1+x\right)\left(1+\frac{1}{x}\right),g\left(x\right)=\left(1+x\right)\left(\frac{1}{x}-1\right)$$

   hanno le proprietà richieste e si verifichi che le loro derivate effettivamente soddisfano le (3.3) e (3.4).

7. ($\star$)  Sia
   $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{x}^2\hfill & \text{ se}\hfill & x\in \mathbb{Q}\hfill \\ x\hfill & \text{ se}\hfill & x\notin \mathbb{Q}\hfill \end{array}\right.$$

   Dire se esitono punti in cui la funzione è continua e punti in cui è derivabile.

8. ($\star$)  Sia
   $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{x}^2\hfill & \text{ se}\hfill & x\in \mathbb{Q}\hfill \\ x^3\hfill & \text{ se}\hfill & x\notin \mathbb{Q}\hfill \end{array}\right.$$

   Dire se esitono punti in cui la funzione è continua e punti in cui è derivabile.

9. ($\star$)  Sia
   $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{x}^2\hfill & \text{ se}\hfill & x\in \mathbb{Q}\hfill \\ x^4\hfill & \text{ se}\hfill & x\notin \mathbb{Q}\hfill \end{array}\right.$$

   Dire se esitono punti in cui la funzione è continua e punti in cui è derivabile.

10. ($\star$)  Costruire una funzione $f\left(x\right)$ con queste proprietà:
    • è continua in $x_0=0$
    • per $x\to 0$ vale $f=\text{ o}\left(x^5\right)$
    • la funzione non ha derivata seconda in $x_0=0$.
11. ($\star$)  Sia
    $$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{x}^{3}sin1∕x\hfill & \text{ se}\hfill & x\ne 0\hfill \\ 0\hfill & \text{ se}\hfill & x=0.\hfill \end{array}\right.$$

    Si mostri che $f\left(x\right)$ è di classe $C^1$ su $ℝ$ e che per $x\to 0$ si ha $f=\text{ o}\left(x^2\right)$. Dire se è vero che $f^{\prime }\left(x\right)=\text{ o}\left(x\right)$ (per $x\to 0$).

12. Sia
    $$f\left(x\right)=x+x^{2}sin\left(1∕x\right)\text{ se}x\ne 0,f\left(0\right)=0.$$

    Mostrare che $f^{\prime }\left(0\right)=1$ ma che non esistono intorni di $0$ su cui $f\left(x\right)$ è crescente. Si studi la derivabilità della funzione anche per $x\ne 0$.

13. Sia
    $$f\left(x\right)=x\text{ se}x\in \mathbb{Q},f\left(x\right)=sinx\text{ se}x\notin \mathbb{Q}.$$

    Mostrare che $f^{\prime }\left(0\right)=1$ ma che non esistono intorni di $0$ su cui $f\left(x\right)$ è crescente. Si studi la derivabilità della funzione anche per $x\ne 0$.

14. ($\star$)  si costruisca una funzione di classe $C^1\left(ℝ\right)$ con queste proprietà:
    1. la funzione è dispari ed $f\left(x\right)\le 0$ per $x<0$ (e quindi $f\left(x\right)\ge 0$ per $x>0$ ed $f\left(0\right)=0$);
    2. la tangente a grafico nel punto $\left(0,f\left(0\right)\right)=\left(0,0\right)$ è orizzontale;
    3. il punto $x_0=0$ non è punto di flesso a tangente orizzontale per la funzione $f\left(x\right)$.
15. Si consideri la parabola $y=x^2$. Se ne calcoli la tangente nel punto di coordinate $\left(x_0,x_0^2\right)$ e si mostri che tale retta tangente biseca il segmento congiungente il vertice della parabola col punto $\left(x_0,0\right)$.
16. Si consideri l’iperbole $y=1∕x$ e per ogni $x_0>0$ se ne calcoli la tangente nel punto $\left(x_0,1∕x_0\right)$. Si calcoli l’area del triangolo che ha per vertici l’origine e le intersezioni di tale tangente con gli assi coordinati. Si mostri che l’area del triangolo non dipende da $x_0$.
17. Sia $f\left(x\right)=x^2$. Si considerino i due punti del grafico di $f\left(x\right)$, $\left(x_0,x_0^2\right)$ ed $\left(x_1,x_1^2\right)$. Si calcolino le tangenti al grafico in tali punti e si calcoli l’ascissa del loro punto comune. Si noti che tale ascissa è la media aritmetica $\left(x_0+x_1\right)∕2$ dei due numeri $x_0$ ed $x_1$.
18. Sia $f\left(x\right)=\sqrt{x}$. Si considerino i due punti del grafico di $f\left(x\right)$, $\left(x_0,{\sqrt{x}}_0\right)$ ed $\left(x_1,{\sqrt{x}}_1\right)$. Si calcolino le tangenti al grafico in tali punti e si calcoli l’ascissa del loro punto comune. Si noti che tale ascissa è la media geometrica $\sqrt{x_0{x}_1}$ dei due numeri $x_0$ ed $x_1$.
19. Elevando al quadrato ambedue i membri membri, si provi che vale la disuguaglianza
    $$\sqrt{x_1{x}_2}\le \frac{x_1+x_2}{2}$$

    ossia, la media geometrica è minore della media aritmetica. Si usino le osservazioni agli esercizi 17 e 18. Si traccino i grafici delle due funzioni $f\left(x\right)=x^2$ ed $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ e si interpreti la disuguaglianza precedente mediante le ascisse dei punti di intersezione delle tangenti ai due grafici.

Capitolo 4
Funzioni: proprietà globali

Niente la soddisfa mai, eccetto le dimostrazioni; le teorie non dimostrate non fanno per lei, non le accetta. E’ questo lo spirito giusto, lo ammetto: mi attrae, ne sento l’influenza; se stessi di più con lei, penso che l’adotterei anch’io. Diario di Adamo, Il diario di Adamo ed Eva di Mark Twain

fino ad ora abbiamo studiato le proprietà “locali” delle funzioni, che dipendono solamente dal comportamento della funzione in un intorno del punto $x_0$. Ora invece studiamo le proprietà delle funzioni in relazione a tutto il loro dominio, che frequentemente (ma non sempre) sarà un intervallo.

4.1 Teorema delle funzioni monotone

La definizione di limite permette solamente di verificare che il limite è effettivamente ciò che l’intuizione ci ha suggerito. In particolare, non asserisce che un limite debba esistere o meno. Un teorema che asserisce l’esistenza del limite, e ne indica il valore, è il seguente, che si chiama teorema delle funzioni monotone Lo enunciamo nel caso delle funzioni crescenti, lasciando per esercizio di adattare l’asserto al caso delle funzioni decrescenti.

Teorema 106 Sia $f\left(x\right)$ una funzione crescente (anche non strettamente). Si ha:

• se¹ $x_0$ è punto di accumulazione per $\text{ dom}{f}_{{|}_{\left(-\infty ,x_0\right)}}$ allora esiste il limite $\underset{x\to x_0-}{lim}f\left(x\right)$ e inoltre
  $$\underset{x\to x_0-}{lim}f\left(x\right)=sup\left\{f\left(x\right)|x<x_0\right\}.$$

• Se² $x_0$ è punto di accumulazione per $\text{ dom}{f}_{{|}_{\left(x_0,+\infty \right)}}$ allora esiste $\underset{x\to x_0+}{lim}f\left(x\right)$ e vale
  $$\underset{x\to x_0+}{lim}f\left(x\right)=inf\left\{f\left(x\right)|x>x_0\right\}.$$

Notiamo che il segno di disuguaglianza è stato scritto in colore, per sottolineare che le disuguaglianze sono strette. Anche se la funzione è definita in $x_0$, il valore che essa prende in $x_0$ non compare nell’enunciato del teorema.

Prima di provare il teorema, vediamone alcune conseguenze.

• Se $f\left(x\right)$ è crescente in $\left(a,b\right)$ e se $x_0\in \left[a,b\right]$ allora si ha
  $$\underset{x\to x_0-}{lim}f\left(x\right)\le f\left(x_0\right)\le \underset{x\to x_0+}{lim}f\left(x\right).$$

• niente vieta che $\underset{x\to x_0-}{lim}f\left(x\right)=+\infty$. In questo caso la funzione, se deve essere crescente, non può essere definita a destra di $x_0$ e quindi $x_0=b$. Analogamente, se $\underset{x\to x_0+}{lim}f\left(x\right)=-\infty$, la funzione, se crescente, non può essere definita a sinistra di $x_0$ e quindi $x_0=a$. In particolare: se la funzione (crescente) è definita in $x_0$, i limiti direzionali esistono e sono finiti. Ossia: i punti di discontinuità di funzioni monotone sono tutti salti.
• di conseguenza, l’immagine di una funzione monotona su un intervallo e discontinua NON è un intervallo. Quest’affermazione è importante perché permette di provare la continuità di certe funzioni senza fare calcoli. Per esempio:
  • la funzione $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ è continua. Infatti è la funzione inversa della restrizione a $\left[0,+\infty \right)$ di $g\left(x\right)=x^2$. E’ monotona e la sua immagine è $\left[0,+\infty \right)$, un intervallo; e pertanto è continua;
  • la funzione $arctanx$ è la funzione inversa della restrizione a $\left(-\pi ∕2,\pi ∕2\right)$ di $tanx$, che è monotona. Dunque anche $arctanx$ è monotona e la sua immagine è l’intervallo $\left(-\pi ∕2,\pi ∕2\right)$. Quindi non ha salti e pertanto è continua.

La dimostrazione del teorema delle funzioni monotone

Proviamo il teorema per i limiti sinistri di funzioni crescenti. Inoltre, studiamo il caso $x_0<+\infty$ lasciando per esercizio il caso in cui $x_0=+\infty$. Conviene distinguere due casi:

Caso 1: $sup\left\{f\left(x\right)|x<x_0\right\}=+\infty$ , ossia $f\left(x\right)$ superiormente illimitata  Come si è notato, in questo caso $x_0$ è l’estremo destro del dominio della funzione e bisogna provare

$$\underset{x\to x_0-}{lim}f\left(x\right)=+\infty .$$

Dunque vanno considerate le disequazioni

$$f\left(x\right)>𝜖$$

e va provato che ciascuna di esse è soddisfatta in un intervallo $\left(c,x_0\right)$, con $c=c_{𝜖}<x_0$. Essendo la funzione superiormente illimitata, esiste un particolare $x_{𝜖}$ tale che

$$f\left(x_{𝜖}\right)>𝜖.$$

La funzione è crescente e quindi per $x\in \left(x_{𝜖},x_0\right)$ si ha

$$f\left(x\right)\ge f\left(x_{𝜖}\right)>𝜖.$$

Dunque, si può scegliere $c_{𝜖}=x_{𝜖}$.

Caso 2: $sup\left\{f\left(x\right)|x<x_0\right\}=l<+\infty$  In questo caso va provato

$$\underset{x\to x_0-}{lim}f\left(x\right)=l$$

e quindi vanno considerate le disequazioni

$$l-𝜖<f\left(x\right)<l+𝜖.$$

Va mostrato che ciascuna di esse è soddisfatta in un intervallo $\left(c_{𝜖},x_0\right)$. La definizione di estremo superiore mostra che esiste $x_{𝜖}$ per cui

$$l-𝜖<f\left(x_{𝜖}\right).$$

La funzione è crescente e quindi

$$x\in \left(x_{𝜖},x_0\right)\Rightarrow f\left(x_{𝜖}\right)\le f\left(x\right)\le l.$$

L’ultima disuguaglianza discende dalla definizione di $l$. L’asserto segue scegliendo $c_{𝜖}=x_{𝜖}$.  $■$

Ripetiamo che il teorema delle funzioni monotone non richiede che il dominio sia un intervallo. Esso vale per funzioni definite su un qualsiasi insieme, purché i limiti da destra e/o da sinistra possano studiarsi. In particolare, vale per le successioni. Nel caso delle successioni, il teorema delle funzioni monotone può enunciarsi come segue:

Teorema 107 Se $\left\{x_n\right\}$ è una successione monotona, essa ammette limite per $n\to +\infty$, finito o meno, e vale:

• se la successione è crescente allora $lim{x}_n=sup\left\{x_n,n\in \mathbb{N}\right\}$;
• se la successione è decrescente allora $lim{x}_n=inf\left\{x_n,n\in \mathbb{N}\right\}$.

Prendiamo l’occasione offerta dal Teorema 107 per introdurre un nuovo termine: una successione che ammette limite per $n\to +\infty$, finito oppure $+\infty$ oppure $-\infty$, si chiama successione regolare Se il limite è finito la successione è una successione convergente

Si noti che la dimostrazione del Teorema delle funzioni monotone usa la completezza dei numeri reali, ossia la proprietà di Dedekind.

4.2 Il Teorema di Bolzano-Weierstrass

Ricordiamo che si chiama successione convergente una successione che ammette limite finito. Il teorema seguente è importante in moltissime applicazioni:

Teorema 108 (di Bolzano-Weierstrass) Ogni successione limitata ammette sottosuccessioni convergenti, ossia dotate di limite finito.

Dim. Indichiamo con $m$ l’estremo inferiore dell’immagine $\left\{x_n\right\}$ della successione,

$$m=inf\left\{x_n\right\}.$$

Ora procediamo in modo iterativo:

Passo 1:

Sia $S_1=\left\{x_n\right\}$, l’immagine della successione e sia

$$c_1=sup{S}_1.$$

Ovviamente, $c_1\ge m$. Scegliamo un qualsiasi $x_{n_1}$ tale che

$$c_1-1<x_{n_1}\le c_1.$$

L’indice $n_1$ esiste per la definizione di estremo superiore.

Passo 2:

Definiamo

$$S_2=\left\{x_n,|n>n_1\right\},c_2=sup{S}_2.$$

Ovviamente, $S_2\subseteq S_1$ e quindi $m\le c_2\le c_1$. Scegliamo $x_{n_2}$ tale che

$$c_2-\frac{1}{2}<x_{n_2}\le c_2.$$

E’:

$$n_2>n_1.$$

Passo 3:

Definiamo

$$S_3=\left\{x_n,|n>n_2\right\},c_3=sup{S}_3.$$

Ovviamente, $S_3\subseteq S_2$ e quindi $m\le c_3\le c_2$. Scegliamo $x_{n_3}$ tale che

$$c_3-\frac{1}{3}<x_{n_3}\le c_3.$$

E’:

$$n_3>n_2.$$

Passo k:

Definiamo

$$S_k=\left\{x_n,|n>n_{k-1}\right\},c_k=sup{S}_k.$$

Ovviamente, $S_k\subseteq S_{k-1}$ e quindi $m\le c_k\le c_{k-1}$. Scegliamo $x_{n_k}$ tale che

$$c_k-\frac{1}{k}<x_{n_k}\le c_k$$

(4.1)

e si ha

$$n_k>n_{k-1}.$$

(4.2)

In questo modo abbiamo costruito due successioni:

• la successione $\left\{c_k\right\}$ decrescente ed inferiormente limitata, e quindi dotata di limite finito $l$:
  $$lim{c}_k=l\in ℝ.$$

• la sottosuccessione $\left\{x_{n_k}\right\}$ della successione $\left\{x_n\right\}$. Si noti che $\left\{x_{n_k}\right\}$ è effettivamente una sottosuccessione, perché $\left\{n_k\right\}$ è crescente, si veda la (4.2).

La (4.1) mostra che $\left\{x_{n_k}\right\}$ ammette limite, uguale a quello di $\left\{c_k\right\}$, e quindi finito. Ciò è quanto volevamo provare.   $■$

Si noti che la dimostrazione del Teorema di Bolzano-Weierstrass usa il Teorema delle funzioni monotone e quindi usa la completezza dei numeri reali .

4.3 Il teorema di Weierstrass

Notiamo che esistono funzioni continue prive di punti di massimo e di minimo. Sono esempi le funzioni $arctanx$, definita su $ℝ$, la funzione $f\left(x\right)=1∕x$ definita su $\left(0,+\infty \right)$ ma anche la funzione $f\left(x\right)=1∕x$ definita su $\left(0,1\right]$, che ammette punto di minimo ($x=1$) ma non punto di massimo. In questi esempi le funzioni sono continue su intervalli che non sono chiusi oppure non sono limitati. Invece:

Teorema 109 (di Weierstrass) Sia $f\left(x\right)$ definita su un intervallo limitato e chiuso $\left[a,b\right]$. Supponiamo inoltre che $f\left(x\right)$ sia continua su $\left[a,b\right]$. L’immagine della funzione ammette sia massimo che minimo e quindi esistono $x_0$ ed $x_1$ in $\left[a,b\right]$ tali che:

Il teorema non afferma l’unicità dei punti di massimo o di minimo. E’ importante notare che questo teorema si può riadattare per dimostrare l’esistenza di punti di massimo e/o di minimo anche in casi in cui le ipotesi non sono soddisfatte. Consideriamo l’esempio seguente:

Esempio 110

In modo analogo si provi che se $f\left(x\right)$ è definita su $\left(a,b\right)$ e se

$$\underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to b}{lim}f\left(x\right)=+\infty$$

allora la funzione ammette punti di minimo (assoluti).  $■$

Supponiamo che la funzione $f\left(x\right)$ sia continua su $ℝ$ e verifichi

$$\underset{x\to -\infty }{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{lim}f\left(x\right)=c.$$

(4.3)

Esista un punto $x_0$ tale che $d=f\left(x_0\right)>c$. Allora, la funzione ammette punto di massimo. Infatti, sia $𝜖=\left(d-c\right)∕2$. Per definizione di limite, esiste $R>0$ tale che

$$\left|x\right|>R\Rightarrow f\left(x\right)<c+\frac{d-c}{2}=\frac{d+c}{2}<d.$$

Dunque, se $\left|x\right|>R$ vale $f\left(x\right)<d=f\left(x_0\right)$. Aumentando il valore di $R$, si può anche avere $\left|x_0\right|<R$. La funzione $f\left(x\right)$ è continua in particolare su $\left[-R,R\right]$, intervallo limitato e chiuso, e quindi ammette ivi un punto di massimo $x_1$:

$$f\left(x_1\right)\ge f\left(x\right)\forall x\in \left[-R,R\right].$$

In tale punto si ha

$$f\left(x_1\right)\ge f\left(x_0\right)=d$$

più grande di $f\left(x\right)$ sia se $\left|x\right|>R$ che se $\left|x\right|\le R$. Questo caso è illustrato nei grafici della figura 4.2. Si noti che il grafico a sinistra mostra anche l’esistenza di un punto di minimo, che però non è conseguenza della proprietà (4.3). Infatti, la funzione a destra non ha punti di minimo.

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figure 4.1: Teorema di Weierstrass: funzione con due massimi e un minimo e funzione con un massimo

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In modo analogo si provi che se $f\left(x\right)$ è definita su $\left(a,b\right)$ e se

$$\underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to b}{lim}f\left(x\right)=+\infty$$

allora la funzione ammette punti di minimo (assoluti).  $■$